Universit´ 8 Mai 1945 - Guelma e

Dr HITTA Amara
Cours Alg` bre et Analyse I e
Conform´ ment aux programmes e
LMD : DEUG I–MI/ST– 2008/2009

Math´ matiques et informatique e Exercices Corrig´ s e

Facult´ des Sciences et de l’Ing´ nierie e e
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Analyse, Alg`bre I et exercices corrig´s e e

e-mail : Hitta2@hotmail.fr

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Chapitre

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Th´orie des Ensembles et relations e

1.1

Op´rations sur les ensembles e

D´finition. Un ensemble F est inclus dans un ensemble E, lorsque tout ´l´ment de F e ee appartient ` E et on ´crit F ⊂ E. Si F ⊂ E et E = F , l’inclusion est dite stricte ou a e que F est une partie propre de E et on note F E.

E F

Lorsqu’il existe au moins un ´l´ment de F n’appartenant pas ` E alors F n’est pas inclus ee a dans E et on ´crit F ⊂ E. e l’autre, c’est ` dire : a E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E. D’autre part, deux ensembles E et F sont ´gaux si et seulement si chacun est inclu dans e

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On admet, par ailleurs, l’existence d’un ensemble unique n’ayant aucun ´l´ment appel´ ee e ensemble vide et contenu dans n’importe quel ensemble. On le note ∅. Les symboles ∈ et ⊂ sont de nature diff´rente : e

x Le symbole ∈ est une relation entre un ´l´ment et un ensemble; x ∈ E . ee y Le symbole ⊂ exprime l’inclusion d’un ensemble dans un autre; {x} ⊂ E.
 Exemple 1.1.1 On a {x ∈ Z; x2 = 1} = {−1, +1} ⊂ Z. D’autre part, 2 ∈ N par contre {2} ⊂ N. Comme Z ⊂ R et Z = R alors Z R. x
Certains ensembles de r´f´rence sont form´s par construction ` partir de l’ensemble des ee e a entiers naturels N : • L’ensemble Z, des entiers relatifs, est construit pour r´soudre les ´quations de la e e forme x + a = b, (a, b) ∈ N2 et a > b. • La consid´ration de l’´quation ax = b, a et b ∈ Z∗ , nous conduit ` une extension de e e a Z par l’ensemble Q des nombres rationnels : En effet, un probl`me aussi simple que la r´solution de l’´quation xn = a, a ∈ Q∗ et e