INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

RESOLUTION NUMERIQUE,
DISCRETISATION DES EDP ET EDO

Eric Goncalvès - septembre 2005

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Table des matières
I MODELISATION, DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE

1

I.1

Qu'est-ce qu'un modèle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I.2

Pourquoi faut-il modéliser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I.3

Quels sont les diérents modèles ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I.4

De la modélisation à la simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

I.5

Aspect ni des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

I.5.1

Représentation des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

I.5.2

Représentation des réels ou nombres ottants . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Notion de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

I.6.1

Stabilité d'un problème physique : système chaotique . . . . . . . . . . . .

3

I.6.2

Stabilité d'un problème mathématique : sensibilité . . . . . . . . . . . . .

3

I.6.3

Stabilité d'une méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Un peu d'histoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

I.7.1

Avant les ordinateurs : les calculateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

I.7.2

Les ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

I.7.3

Petite chronologie

7

I.6

I.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II DISCRETISATION DES EDP

9

II.1 LES TROIS GRANDES FAMILLES DE METHODES . . . . . . . . . . . . . . .

9

II.2 LES DIFFERENCES FINIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

II.2.1 Principe - ordre de précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

II.2.2 Notation indicielle - cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .