´ries Nume
´riques
Feuille d’Exercices : Se

Les basiques

´oriques
Les the

Exercice 1 : D´emontrez la convergence et calculez la somme des s´eries de terme g´en´eral un dans les cas suivants :

Exercice 5 : Soit (an ) une suite r´eelle d´ecroissante.
1. Montrez que si la s´erie

n (n − 1)xn
3. un =
, o` ux∈R n! n 2 8n
4. un = n! 1. un = n2 xn , o` u |x| < 1 n−1 2. un = n+1
3

´ore
`me de convergence par comparaison
Exercice 6 : The
Soit (un )n∈N et (vn )n∈N des suites de r´eels strictement positifs. On suppose

√

√

n+1−

√

n

α

2. vn = ln 1 +

1. Montrez que si

vn converge, alors

2. Montrez que si

un diverge, alors

un converge. un diverge.

Exercice 7 : Estimation du reste
On consid`ere la s´erie un , o` u ∀n ∈ N,
1. D´emontrez que la s´erie

un =

sin(π/2n )
2n

un est convergente.

On note pour tout entier n ∈ N Sn la somme partielle de rang n et S la somme de cette s´erie.
2. D´emontrez que

Exercice 3 : Discutez suivant la valeur du param`etre r´eel α ∈ R, la nature de la s´erie de terme g´en´eral :
1. un =

un+1 vn+1 ≤ un vn

∀n ∈ N,

8. un = n ln ne− n n 1
9. un = ln 3n cos 2n
10. un = 2
3n − 4n + 1 n + cos n
11. un = n e + sin n
1
12. un = √ √ n n+1

6. un = cos(1/n) − 1
1
7. un = √ nnn lim nan = 0.

n→∞

2. Que pouvez-vous dire de la r´eciroque ?

Exercice 2 : Etudiez la nature des s´eries de terme g´en´eral un dans les cas suivants : π 1
1. un = √ sin
2n
n n−1 2. un = n
3 −1
3. un = 2n sin(1/n)
1
4. un = ln 1 − n+2 5. un = ln cos(1/2n)

an converge, alors

∀n ∈ N ,

1 nα |S − Sn | ≤

1
2n
m

Indication : n ∈ N ´etant fix´e, commencez par majorer

uk pour tout k=n+1 Exercice 4 : Etudiez la convergence et l’absolue convergence des s´eries de terme g´en´eral un dans les cas suivants :
2
1. un = (−1)n sin
3n
2 n (ln n)
2. un = (−1) √ n m ≥ n + 1 puis passez `a la limite quand m tend vers +∞.
3. Pour quelle valeur de n, Sn consitue-t-il une valeur approch´ee de la somme
`a 10−3 pr`es ?

n
3. un = (−1)n cos n+1 (−1)n
4. un = α∈R nα

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