Planche no 3. Fonctions usuelles
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

no 1 (**I) 1) Soit f une fonction dérivable sur R à valeurs dans R. Montrer que si f est paire, f ′ est impaire et si f est impaire, f ′ est paire. 2) Soient n ∈ N∗ et f une fonction n fois dérivable sur R à valeurs dans R. f(n) désignant la dérivée n-ième de f, montrer que si f est paire, f(n) est paire si n est pair et impaire si n est impair. 3) Soit f une fonction continue sur R à valeurs dans R. A-t-on des résultats analogues concernant les primitives de f ? 4) Reprendre les questions précédentes en remplaçant la condition « f est paire (ou impaire) » par la condition « f est T -périodique ». √ no 2 (**) Trouver la plus grande valeur de n n, n ∈ N∗ . no 3 (**I) 1) Etudier brièvement la fontion x → ln x et tracer son graphe. x 2) Trouver tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls et distincts vérifiant ab = ba .

no 4 Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes : 1) (∗∗) ln |x + 1| − ln |2x + 1| ≤ ln 2 7 3) (∗∗) 2 argsh x = argch 3 − argth 9 1 1 5) (∗∗) 22x − 3x− 2 = 3x+ 2 − 22x−1 no 5 (**) Trouver lim x→ +∞

2) (∗) x

√ x

=

√ x x

4) (∗∗) lnx (10) + 2ln10x (10) + 3ln100x (10) = 0

(xx )x . x(xx )

no 6 Construire le graphe des fonctions suivantes : 1) (*) f1 (x) = 2|2x − 1| − |x + 2| + 3x. 2) (**) f2 (x) = ln(ch x). 3) (***) f3 (x) = x + |x2 − 1|. 4) (**) f4 (x) = | tan x| + cos x. x 1 (à étudier sur ]0, +∞[). 5) (***) f5 (x) = 1 + x 6) (**) f6 (x) = log2 (1 − log 1 (x2 − 5x + 6)).
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c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

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