Dérivées usuelles
On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.
Fonction

Dérivée

f(x) = k

f ’(x) = 0

f(x) = x f(x) = x2 f(x) = x3

f ’(x) = 1 f ’(x) = 2x f ’(x) = 3x2

f(x) = xn

f ’(x) = nxn – 1

Validité k nombre réel constant ; x∈r x∈r x∈r x∈r n entier naturel supérieur ou égal à2; x∈r

Fonction
1
f(x) = x 1 f(x) = 2 x 1 f(x) = n x Dérivée
1
f ’(x) = – 2 x 2 f ’(x) = – 3 x n f ’(x) = – n+1 x f(x) = x

f ’(x) =

1
2 x

Validité x ∈ r* x ∈ r* n entier naturel non nul x ∈ r* x ∈ ]0 ; +∞
∞[
pourtant f est définie pour x ∈ [0;+∞[

Opérations et dérivées u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé.
Fonction

Dérivée

Somme f = u + v

f’ = u' + v'

Produit

Quotient

f = ku f = uv
1
f= v u f= v

f’ = ku' f’ = u'v+uv' v’ f’ = – 2 v u’v – uv’ f’ = v2 Dérivabilité dérivable sur l’intervalle I dérivable sur l’intervalle I dérivable pour les x de
I où v(x) ≠ 0

Remarque
Si f = u2 = u × u, alors f’ = u’u + uu’ = 2uu’.
Composition
Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x), alors f = g o u est dérivable en x et f’(x) = g’(u(x)) × u’(x).
Conséquences :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Fonction
f = un , n est un entier naturel, n ≥ 1
1
f = avec u(x) ≠ 0 u f = u, avec u(x) > 0 f= 1 avec u(x) ≠ 0 un Dérivée f’ = nun – 1 × u’
1
u’
× u’ = – 2 u2 u
1
u’ f’ =
× u’ =
2 u
2 u
–n
nu’ f’ = n + 1 × u’ = – n + 1 u u f’ = –

Dérivabilité dérivable sur l'intervalle I dérivable pour les x de I où u(x) ≠ 0 dérivable pour les x de I où u(x) > 0 dérivable pour les x de I où u(x) ≠ 0