Niveau : 1e

Fiche méthode : équation de la tangente à une courbe

F. Demoulin

−ı , →
− . Soit f une fonction définie sur un intervalle
On rapporte le plan à un repère orthogonal O ; →
I et x0 ∈ I . On note C f sa courbe représentative dans ce repère.

1 Rappel de cours

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Propriété 1.1 Si f est dérivable en x0 , alors la tangente à C f au point d’abscisse x0 a pour équation réduite : y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
On la note T x0 .

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✁

Illustration graphique :
Soient M0 (x0 ; f (x0 )) et M(x ; f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) deux points de T x0 , M ′ (x ; f (x)) un point de C f .

Cf f (x)

×

f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )

×

M0

f (x0 )

M′

T x0

M

×

j
O

i

x0

x

2 Méthode et exemple
✄

Point méthode Pour déterminer l’équation réduite de la tangente à une courbe au point d’abscisse x0 :
➀ on exprime la dérivée de f ;
➁ on détermine l’équation réduite de la tangente en s’appuyant sur la propriété 1.1.

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Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3x 2 − x + 2. Déterminer l’équation réduite de la tangente T à C f au point d’abscisse −1.

➀ On commence par donner l’expression de la dérivée de f . f est définie et dérivable sur R en tant que fonction polynôme. Pour tout réel x, on a : f ′ (x) = 6x − 1

➁ On détermine l’équation réduite de la tangente en s’appuyant sur la propriété 1.1.
D’après la propriété 1.1, la tangente T à C f au point d’abscisse −1 a pour équation réduite : y = f ′ (−1)(x + 1) + f (−1)
Comme f ′ (−1) = 6 × (−1) − 1 = −7 et f (−1) = 3 × (−1)2 − (−1) + 2 = 6, il vient : y = −7(x + 1) + 6 = −7x − 1
La tangente T à C f au point d’abscisse −1 a donc pour équation réduite y = −7(x + 1) + 6 = −7x − 1.
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F. Demoulin

Fiche méthode : équation de la tangente à une courbe

3 Exercices
Déterminer une équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x0 proposé.

1. f : x −→ −x 2 + 5x − 1,
3. f : x −→

3−3x
2x+1 ,

2. f : x −→ −x 2 + 72 x − 12 ,

x0 = 1.

x0 = 2.

4. f : x −→ 2x 3 −