Équations aux dérivées partielles
30819 mots
124 pages
´ UFR DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUEMaˆ ıtrise d’Ing´nierie Math´matique e e
´ EQUATIONS AUX ´ ´ DERIVEES PARTIELLES
Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr
Table des mati`res e
1 Introduction 1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Notions de solution . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemples d’´quations aux d´riv´es partielles e e e 1.3.1 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Biologie. Dynamique des populations 1.3.3 Traitement des images . . . . . . . . 1 1 4 6 6 6 8 15 15 15 16 17 18 18 19 20 21 22 22 24 25 25 25 27 28 30 32 33 33 33 34 36 38 39 41 42 44
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2 Les ´quations aux d´riv´es partielles lin´aires classiques e e e e ´ 2.1 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Mod´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 R´solution pour d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.3 R´solution du cas g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . e e e ´ 2.2 Equation de Laplace, ´quation de Poisson . . . . . . . . . e 2.2.1 Mod´lisation : membrane ´lastique . . . . . . . . . e e 2.2.2 R´sultats d’unicit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.2.3 Formules de repr´sentation . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.4 R´gularit´ des fonctions harmoniques . . . . . . . . e e 2.2.5 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Principe de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Mod´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ´ 2.3.1.1 Equations de r´action-diffusion . . . . . . . e ´ 2.3.1.2 Equations d’advection-diffusion . . . . . . 2.3.2 Calcul d’une solution . . . . . . . . . .