Corrigé de l’exercice 2, question 3 – 1er décembre 2010 Conférence de Céline Antonin Exercice 2 : Pair ou impair Roméo et Juliette recourent à l’ancien jeu « pair/impair » afin de décider de leur prochaine destination de vacances : ils choisissent simultanément un chiffre entre 0 et 5 et vont à Rio de Janeiro si la somme des deux chiffres choisis est un nombre pair ; sinon ils vont à Paris si la somme est un nombre impair. Roméo préfère Rio qui lui procure une utilité de 1 à Paris qui ne lui procure aucune utilité. Au contraire, Juliette préfère Paris (utilité de 1) à Rio (utilité nulle). 1) Décrivez cette situation comme un jeu stratégique simultané : spécifiez l’ensemble des joueurs, l’ensemble des stratégies et la matrice des paiements. On synthétisera les stratégies en deux catégories pour chacun des joueurs. 2 joueurs : Roméo et Juliette Stratégies : jouer pair ou impair Matrice des paiements : Juliette Roméo Pair Impair Pair (1;0) (0;1) Impair (0;1) (1;0)

2) Le jeu a-t-il un équilibre de Nash en stratégies pures ? Pas d’équilibre de Nash en stratégies pures 3) Le jeu a-t-il un équilibre de Nash en stratégies mixtes ? Si oui, quel poids est mis sur chacune des stratégies par les deux joueurs ? On reprend le tableau et on pondère chaque stratégie par des probabilités. Soit pR la probabilité que Roméo joue pair : 1 − pR est alors la probabilité que Roméo joue impair. Soit pJ la probabilité que Juliette joue pair : 1 − pJ est alors la probabilité que Juliette joue impair. Juliette Pair pJ Roméo Pair pR Impair 1 − pR - On calcule l’espérance de revenu de Roméo : (1;0) (0;1) Impair 1 − pJ (0;1) (1;0)

EU R = pR [ pJ ×1 + (1 − pJ ) × 0] + (1 − pR ) [ pJ × 0 + (1 − pJ ) × 1] EU R = pR pJ + (1 − pR )(1 − pJ )

- On calcule l’espérance de revenu de Juliette :

EU J = pJ [ pR × 0 + (1 − pR ) × 1] + (1 − pJ ) [ pR ×1 + (1 − pR ) × 0] EU J = pJ (1 − pR ) + (1 − pJ ) pR

- On maximise l’espérance de revenu de Roméo :

∂EU R 1 = 0 ⇒ 1 − pR − p R = 0 ⇒ p R =