Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion 16 septembre 2010

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie 1 : Étude de la fonction f 1. Comme x est supérieur à zéro, le signe de f (x) est celui de 1 − ln x. Or 1 − ln x > 0 ⇐⇒ 1 > ln x ⇐⇒ ln e > ln x ⇐⇒ e > x par croissance de la fonction ln. On a donc : f (x) > 0 ⇐⇒ 0 < x < e ; f (x) < 0 ⇐⇒ x > e. x→0 6 points

f (x) = 0 ⇐⇒ x = e ;

2. • Au voisinage de zéro : f (x) = x − x ln x. On sait que lim x ln x = 0, donc lim f (x) = 0. x→0 • Au voisinage de plus l’infini : On a lim x = +∞ et lim 1 − ln x = −∞. Par produit des limires on obtient : lim f (x) = −∞. x→+∞ x→0 x→0

Remarque : la lecture de l’annexe correspond bien à ces résultats. 3. f produit de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ est dérivable sur cet intervalle et : 1 f ′ (x) = 1 − ln x + x × − = 1 − ln x − 1 = − ln x. x Or − ln x > 0 ⇐⇒ ln x < 0 ⇐⇒ ln x < ln 1 ⇐⇒ x < 1 par croissance de la fonction ln. De même − ln x > 0 ⇐⇒ x > 1. Conclusion : la fonction est croissante sur ]0 ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[. x f (x)
′

0 +

1 0 1

e − 0

+∞

f (x) 0 4.

−∞

a. On a M(x ; y) ∈ (T a ) ⇐⇒ y − f (a) = f ′ (a)(x − a) ⇐⇒ y − a + a ln a = − ln a(x − a) ⇐⇒ y = −x ln a + a.

Le point d’intersection de la droite (T a ) et de l’axe des ordonnées a une abscisse nulle, d’où y = a, ordonnée du point A′ . Conclusion : A′ (0 ; a).

b. Il suffit de tracer le quart de cercle centré en O de rayon a qui coupe l’axe des ordonnées au point A′ (0 ; a) Du point (a ; 0) donné sur la figure on trace la verticale qui coupe C au point A(a ; f (a)). La tangente est la droite (AA′ ). Voir à la fin la figure. Partie II : Un calcul d’aire

Corrigé du baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1. • On a vu à la question 1. que sur ]0 ; e] la fonction f est positive. La mesure de la surface limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = e est donc e égale à l’intégrale A (a) =

f (x) dx. a a

• On a