Chapitre 5

Probabilités et variables aléatoires sur un univers fini

Exercice 0 : Questions de cours
1/ Formule des probabilités composées
2/ Formule de Bayes
3/ Formule des probabilités totales
4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev
5/ Théorème de transfert
6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type
7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type
8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type
Exercice 1
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tirer 5 cartes dans un jeu non truqué de 32 cartes.
Dénombrer le nombre de tirages possibles répondant aux conditions suivantes :
1/ Nombre total de tirages possibles.
2/ On obtient deux rois parmi les 5 cartes.
3/ On obtient au moins un pique.
4/ On obtient un As et deux carreaux.
5/ Parmi les 5 cartes, il n’y a pas de carte plus petite que 9.
6/ On obtient deux paires (mais sans brelan).
7/ On obtient une couleur.
On obtient une quinte flush (une suite dans la couleur).
Pour rappel, aux cartes une couleur c’est pique, trèfle, carreau ou cœur.
Exercice 2
1/ Quel est le nombre d’anagrammes que l’on peut former avec les mots
« abracadabra » ? et « mississipi » ?
2/ Combien y-a-t’il de façons de classer quatre personnes, sachant qu’il peut, éventuellement, y avoir des ex-aequo ?

1

Exercice 3
1/ Rappeler la formule de Newton :
.
2/ Montrer que
. En déduire
3/ Calculer
.
4/ Montrer que
.
5/ Montrer que
.
6/ En remarquant que
, calculer

.

.

Exercice 4
1/ Après avoir montré que
, calculer
.
2/ Soit n urnes que l’on numérote de 1 à n. A l’intérieur de l’urne k, on a k boules blanches et n-k boules rouges.
On considère alors l’expérience aléatoire suivante : on choisit l’une des urnes au hasard et on tire simultanément dans cette urne deux boules.
Calculer la probabilité d’obtenir deux boules rouges (montrer que
) ?
Déterminer
et commenter le résultat.
3/ Maintenant on considère l’expérience aléatoire : on choisit l’une des urnes au hasard et on tire successivement et