Chapitres 9 : les nombres complexes

1er f´evrier 2014

Contrôle de mathématiques
Jeudi 30 janvier 2014
Exercice 1
ROC

1 point

Pré-requis : Pour tous complexes z et z′ , on a : zz = |z|2

et

zz′ = z z′

Montrer que pour tous complexe z et z′ , on a : |zz′ | = |z| |z′ |

Exercice 2
Equation du troisième degré

4 points

Soit l’équation (E) : x3 − 18x + 35 = 0
1) a) Démontrer, sans la calculer, que l’équation (E) possède au moins une solution réel
α. On pourra éventuellement définir la fonction f telle que : f (x) = x3 − 18x + 35.
b) Pour l’équation x3 + px + q = 0, on donne la formule de Cardan ci-dessous.
Déterminer alors α
3

α=

q
− −
2

q
2

2

+

p
3

3

3

+

q
− +
2

q
2

2

+

p
3

3

2) a) Montrer que l’on peut écrire : x3 − 18x + 35 = (x + 5)(x2 − 5x + 7)
b) En déduire alors toutes les solutions de l’équation (E) dans C

Exercice 3
QCM

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée.
Pour chacune des questions, une seule des quatre ou trois propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0, 5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
√
√ z1 π π 1) Soit z1 = 6 ei 4 et z2 = 2 e−i 3 . La forme exponentielle de i est : z2 √
√ i 7π
√
√ i 19π π 13π
−i
b) 12 e 12
c) 3 e 12
d) 3 ei 12
a) 3 e 12
2) L’équation −z = z, d’inconnue complexe z, admet :
a) une solution

b) deux solutions
c) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
d) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
3) Soit Γ l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z + i| = |z − i|.
a) Γ est l’axe des abscisses.

Paul Milan

1

Terminale S

contrˆole de math´ematiques

b) Γ est l’axe des ordonnées.
c) Γ est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
4) On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives b et c