UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR

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OFFICE DU BACCALAUREAT
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13 G 18 Bis A01
Dur´ee : 4 heures
S´erie S1-S3 Coef 8
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Epreuve du 1er groupe

MATHEMATIQUES
Les calculatrices ´ electroniques non imprimantes avec entr´ ee unique par clavier sont autoris´ ees. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´ es de courbe sont interdites.
Leur utilisation sera consid´ er´ ee comme une fraude.(CF.Circulaire n0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998)

Exercice 1 (5 points).
−→ −→
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O, OI, OJ).
Soit K le point du plan tel que OIKJ soit un carr´e.
Soit M un point quelconque de la droite (OK) diff´erent de O et s la similitude plane directe de centre J qui transforme O en M. On note m l’affixe du point M, I ′ et M ′ les images respectives de I et de M par s.
1. Montrer que |m − 1| = |m − i| et que les complexes (m − 1)(m − i) et m(1 + i) sont imaginaires purs.
Indication : M ´etant un point de la premi`ere bissectrice diff´erent de O, il existe un r´eel x non nul tel que m = x + ix.
3 × 0, 25 pt
2. a. V´erifier que le rapport de s est |m − i|, calculer alors M ′ I ′ en fonction m. 2 × 0, 25 pt
b. Calculer le rapport de s ◦ s. En d´eduire que M ′ J = |m − i|2 .
2 × 0, 25 pt
c. D´emontrer que M ′ J = M ′ I ′
0, 5 pt
3. a. D´emontrer que l’´ecriture complexe de la similitude s est z ′ = (1 + im)z + m.
−
→ −−→
En d´eduire les vecteurs II ′ et M ′ I ′ ont pour affixes respectives m(1 + i) et −i(m − i)(m − 1).
0, 75 + 0, 25 + 0, 25 pt
b. Prouver alors que I ′ est le projet´e orthogonal de M ′ sur la droite (IK).
0, 5 pt
c. D´eduire de la relation de la question 2 c. que lorsque le point M parcourt la droite (OK) priv´ee du point O, le point M ′ appartient `a une parabole dont on pr´ecisera le foyer et la directrice. Placer toutes les donn´ees pr´ec´edentes sur une figure.
2 × 0, 5 pt