1 ERE S

PROBABILITE

feuille21

119 Asie juin 2001
Pour rejoindre le sommet S d’une montagne des Alpes à partir d’un point de départ D, les randonneurs ont la possibilité d’emprunter plusieurs parcours.
La course n’étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l’un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1 400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit.
On les appelle R1 et R2 .
Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2 500 mètres d’altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3 , ou atteindre le sommet directement. S
La probabilité que les randonneurs choisissent
1
de passer par R1 est égale à . La probabilité
5,5 2 6
3
de monter directement au sommet en partant
3
R3 de R1 est égale à . La probabilité de monter
4
4,5
4
R1
R2
directement au sommet en partant de R2 est
2
5
4
égale à .
3
D
1. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu’au sommet S.
2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
E1 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 sachant qu’ils ont passé la nuit au refuge
R1 » ;
E2 « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 » ;
E3 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu’ils ont fait une halte au refuge R3 » ;
E4 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S ».
3. On note d (M, N ) la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point M au point N .
On donne d (D, R1 ) = 5 ; d (D, R2 ) = 4 ; d (R1 , R3 ) = 4 ; d (R2 , R3 ) = 4,5 ; d (R3 , S) = 2 ; d (R1 , S) = 5,5 ; d (R2 , S) = 6.
Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X.