Terminale S, Amérique du Nord 2007. - Corrigé 1. Exercice 1 Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. 1. Soit (P) le plan dont une équation est : 2 x + y − 3 z + 1 = 0 . Soit A le point de coordonnées ( 1 ; 11 ; 7 ) . Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P) a pour coordonnées ( 0 ; 2 ; 1 ) . » Rappelons que H est le projeté orthogonale de A sur (P) ssi • •
H ∈ ( P) AH normal à ( P )

.

Les coordonnées de H vérifient l’équation de (P) donc H est dans P.
2 −1 Le vecteur n 1 est normal à (P) et on a AH −9 : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs −3 −6

coordonnées ne sont pas proportionnelles donc AH n’est pas normal à (P). Proposition 1 Fausse. 2. On considère l’équation différentielle (E) : y ' 2 − 2 y . = On appelle u la solution de (E) sur vérifiant u ( 0 ) = 0 : Proposition 2 : « On a u b a

ln 2 1 = ». 2 2

Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b sont les fonctions y ( x) = Keax − , K ∈ . Les solutions de (E) sont donc les fonctions u ( x ) = Ke −2 x + 1, K ∈ u ( x ) = −e −2 x + 1, K ∈ . Par conséquent u ln ln 2 − ln 2 = −e ( ) + 1 = −e 2 1 2

: comme u(0) = 1, on a K = -1 et donc

1 1 + 1 = − + 1 = : Proposition 2 Vraie. 2 2

3. On considère la suite ( un ) définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 7 un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 7 . » Soit P(n) la proposition « 0 ≤ un ≤ 7 ». • • P(0) est vraie puisque u0 = 2 est compris entre 0 et 7. Supposons P(n) vraie cad que 0 ≤ un ≤ 7 : alors 0 ≤ 7un ≤ 49 donc 0 ≤ 7un ≤ 49 puisque la fonction racine est croissante, cad 0 ≤ un +1 ≤ 7 . Proposition 3 Vraie.

2. Exercice 2 (non spécialistes)
−i 5π 6

Soit le point A d’affixe z A = i et B le point d’affixe z B = e 1. Soit r la rotation de centre O et d’angle

.

2π . On appelle C l’image de B par r. 3
i