Chapitre 1: Second degré
I - Fonction trinôme du second degré
A - Rappels
Définition
On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0

B - Forme canonique
Théorème
2

Pour tout réel x , on ax bxc=a

 

2

b b 2−4 ac x −
2a
4 a2



Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant
Démonstration



 

b c ax bxc=a x   =a ax a
2

2

  

2

b b2 c x − 2  =a
2a
4a a



2

b b2 −4 ac x −
2a
4 a2



Exemple : f  x =−2 x 24 x2 f  x =−2 x 2−2 x−1=−2 x−12−1−1=−2  x −12 −2

C - Représentation graphique la représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole.
−b

,−
Le sommet a pour coordonnées S
2a
4a





Le sens de variation dépend du signe de a .

CHAP 1 LE

SECOND DEGRÉ

1/7

Pour a>0

x

–

–∞

b
2a

+∞

−
4a

f(x)

f admet un minimum réalisé en x=

−b
2a

Pour a>0

x

–
∞

–

b
2a

+
∞

−
4a

f(x
)

f admet un maximum réalisé en x=

−b
2a

II - Équation du second degré

Vocabulaire
Résoudre l'équation ax 2bxc=0 (a ≠0) , c'est trouver tous les nombres qui vérifient cette égalité .
Ce nombre est une solution de l'équation . On dit aussi que c'est une racine du trinôme
2
ax bxc

Propriété
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f (x )=ax 2 + bx+ c
 est une racine si et seulement si f =0

CHAP 1 LE

SECOND DEGRÉ

2/7

A - Résolution de l'équation ax 2 bxc=0
Théorème
Le nombre de solution de l'équation ax 2 bxc=0 dépend du signe de .

<0

=0

Pas de solution

>0

Une solution double x 0=

Deux solutions distinctes

−b
2a

x 1=

−b−  
2a

x 2=

−b 
2a

Démonstration

2

f  x =ax bxc=a

 

2

b b 2−4 ac x −
2
2a
4a



  
2

2

on pose =b −4 ac et donc f  x =a

b

x
− 2
2a
4a

2
−
b

x
−
Si <0 alors est strictement positif f(x)
2 est strictement positif . Donc
4a
2a
4a 2 est le produit de deux facteurs strictement non nuls donc f(x)=0 n'a pas de