CORRIGE DU DS n°2

I1

MATHEMATIQUES

EXERCICE 1
1.

2
  1  4  1  3i   5  12i . Soit  une racine carrée de  et  x, y   2 tel que   x  iy donc tel que  x  iy   5  12i .

De plus   25  144  13

 x2  y2  5
2 x2  18
 x  3
x  3
 x  3



2
. Donc 3  2i et 3  2i sont les racines carrées de .
    2 xy  12
  xy  6   xy  6   ou 
y  2
 y  2
 2
 2
 y  2
2

 x  y  13
2 y  8
On considère   3  2i . Les solutions de l’équation z2  z  1  3i  0 sont alors :
1   3  2i 
1   3  2i  z1 
 2  i et z2 
 1  i . Donc S  2  i; 1  i .
2
2

1
.
x
La fonction Arctan est dérivable sur 0;   ; la fonction inverse est dérivable sur 0;   et à valeurs dans 0;   , alors par

2. a. Soit f la fonction définie sur 0;   par f  x   Arc tan x  Arc tan

1
Arc tan est dérivable sur 0;   . x Donc la fonction f est dérivable sur 0;   comme somme de fonctions dérivables sur 0;   . composée, la fonction x

Soit x  0;   , f '  x  

1
1  x2

 1
   2 
 x 

1
2

1
1 
 x



1
1

 0 . Alors la fonction f est constante sur 0;   .
1  x2 x2  1

 

1  f 1  2 Arc tan 1  2   , alors x  0;   , f  x   . Donc x  0, Arc tan x  Arc tan  .
4 2
2
x 2
 1 
b. Soit x  0 , alors  x  0 , on applique donc l’égalité précédente à  x et on a Arc tan   x   Arc tan     . Or la fonction
 x 2
1 
1

Arctan est impaire, donc  Arc tan x  Arc tan  et x  0, Arc tan x  Arc tan   . x 2 x 2

EXERCICE 2
1. a. La fonction th est définie pour tout réel x tel que ex  e x  0 . Or x  , ex  0 et e x  0 , alors x  , ex  e x  0 donc x  , ex  e x  0 . Alors la fonction th est définie sur
b.

est centré en 0. Soit x , th   x  

.

sh   x   sh  x 

 th  x  (car la fonction ch est paire et la fonction sh est impaire) ch   x  ch  x 

Alors la fonction th est impaire.
c. La fonction th est dérivable sur , comme