Chapitre VIII: Les Coniques

Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable de : • donner l’équation polaire avec origine au foyer d’une conique • identifier une conique connaissant son excentricité. • trouver les caractéristiques manquantes d’une conique à partir de caractéristiques connues.

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Mathématiques pour les Sciences Physiques

I Généralités
1°- Définition géométrique • Une conique est l'ensemble des points d'un plan tels que le rapport des distances H à un point F, appelé foyer et à une droite D appelée directrice soit constant. FM • Le rapport e = est l'excentricité HM de la conique. • La distance de F à D peut s'écrire FH0 = la conique. Propriété : p représente la distance FM lorsque FM est parallèle à D. 2°- Equation polaire y H r H0 F D θ x M H0 F

M

D

p , p étant le paramètre de e

On place le foyer à l'origine d'un système de coordonnées polaires (Fx orthogonal à D):  FM = r  θ = ( Fx, FM )

Coniques

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De FM = e ⋅ HM

et HM = H0 F + r cosθ =

p + r cosθ , on tire : e

p p  r = e ⋅  + r cosθ que l’on écrit : r = équation polaire de la e  1 − e cosθ conique avec origine au foyer. Remarquons que l'on retrouve la propriété: p = r π  θ=   2

y M r H F H0 D θ θ0 x

Dans le cas où l'axe focal H0F fait un angle θ0 avec Fx, on obtient p r= l'équation : 1 − e ⋅ cos(θ − θ ) 0 On appelle θ0 l'azimuth focal 3°- Classification • Si e = 1, r ∈ rmin ,+∞ avec rmin =

[

[

p : la conique est une parabole. 2 p p et rmax = : la conique 1+ e 1−e p : la conique est une 1+ e

• Si e < 1, r ∈ rmin , rmax avec rmin = est une ellipse. • Si e > 1, r ∈ rmin ,+∞ hyperbole.

[

]

[

[

avec rmin =

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Mathématiques pour les Sciences Physiques

II Parabole
1°- Propriétés géométriques Puisque e=1, FM =HM : la parabole est l'ensemble des points situés à égale distance du foyer et de la directrice. Relation intéressante: H0O = OF = rmin = 2°- Equation cartésienne En prenant