Séquence 2
Fonctions numériques
Continuité
Objectifs de la séquence
̈ Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues.
̈ Étudier

le sens de variation d’une fonction pour résoudre un problème concret d’optimisation.

̈ Utiliser le sens de variation d’une fonction en Économie.
̈ Trouver,

à l’aide d’une calculatrice, des solutions approchées à des équations du type f (x) = k.

Sommaire
1. Pré-requis
2. Étude de fonctions (révisions 1re ES)
3. Notion de continuité sur un intervalle. Résolution d’équations du type f (x) = k
4. Synthèse de la séquence
5. Exercices de synthèse

Séquence 2 – MA01

1

© Cned - Académie en ligne

1 Pré-requis
A

Dérivée des fonctions « puissances »
Dérivée de u +v, de ku, de uv
Problème d’optimisation
1. Dérivées des fonctions x x n . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables

Cas particuliers

Fonction f

Cas général

Fonction dérivée f '

Ensemble de dérivabilité

x

k

x

0

»

x

x

x

1

»

x

x2

x

2x

»

x

x3

x

3x 2

»

x

x4

x

4x 3

»

x

xn

n x n-1

»

x

(n entier naturel non nul)

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel.
Somme

(u + v )' = u '+ v '

Produit d’une fonction par un réel

(ku )' = k u '

Produit

(uv )' = u 'v + uv '

Carré

(u 2 ) = 2uu '

'

Séquence 2 – MA01

3

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Exercice

On considère les fonctions polynômes f , g , h définies pour tout réel x par :
• f ( x ) = −2x 3 + 0, 5x 2 + 6 x − 3 • g ( x ) = 23 − 2x + 3x 2
1
2
4
• h ( x ) = x 4 − x 3 + x 2.
3
3
3
Déterminer les fonctions dérivées des trois fonctions f, g et h.

̈ Solution

Pour tout x réel on a
4
8
• f '( x ) = −6 x 2 + x + 6 • g '( x ) = − 2 + 6 x • h '( x ) = x 3 − 2x 2 + x .
3
3

2. Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction.
Problème d’optimisation
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
̈
̈
̈

Exercice

f '( x ) = 0 sur I équivaut à f est constante sur I ; f '( x ) ≥ 0 sur I équivaut à