algèbre tensorielle

25294 mots 102 pages
Table des mati` eres a Mines Nancy. Introducto
Cours de calcul tensoriel pour la physique d’Emmanuel Plaut `

5

1 Alg` ebre tensorielle

9

1.1

Espace - Vecteurs - Base et rep`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vecteur 9

1.1.1

Remarque sur la notation

: fl`eche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2

Convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3

Produit scalaire - Premi`ere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4

Formule de changement de base - Notion de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ex. 1.2 : V´erification de la coh´erence de la d´efinition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5

Sur le caract`ere

direct

des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6

Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2

D´efinition des tenseurs comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1

Repr´esentation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2

Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3

Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4

Application : ´ecriture intrins`eque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ex. 1.3 : De l’int´erˆet de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5
1.4

Tenseur identit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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