février 2012

CORRIGE

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

Analyse combinatoire 4ème - 1

I. Introduction
Les différents modèles mathématiques construits pour étudier les phénomènes où intervient le hasard sont basés sur la notion de probabilité. Celle-ci exige des dénombrements d’ensembles finis. C’est l’objet d’étude de l’analyse combinatoire.
Toute suite d’éléments choisis parmi les éléments d’un ensemble fini peut être ordonnée ou non, selon que l’on tient compte ou non de la position occupée par les éléments. D'autre part, la suite peut être avec ou sans répétitions, selon qu'un même élément puisse être utilisé plusieurs ou une seule fois.
Exemples
¾ Si on jette un dé, combien de résultats distincts sont-ils possibles ?
¾ Combien y a-t-il de « mains » différentes au poker ?
¾ Combien peut-on former d’anagrammes du mot « Analyse » ?
¾ De combien de façons peut-on choisir 4 personnes parmi 17 ?
¾ Combien existe-t-il de nombres compris entre 100 et 100'000 commençant par un chiffre impair et contenant des chiffres différents ?

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle
Exercice II.1
a) De combien de manières différentes peut-on placer 5 personnes l'une à côté de l'autre ?
b) Combien de nombres peut-on écrire en utilisant exactement une fois chacun des chiffres de 1 à 6 ?
a) Il y a 5 choix pour la 1ère place, 4 choix pour la 2ème place, puis 3 choix, puis 2 puis 1 choix.
Donc il y a 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 manières différentes de placer ces 5 personnes.
b) Il y a 6 choix pour le premier chiffre, puis 5, puis 4, etc. jusqu'à 1 choix pour la dernière place.
Donc il y a 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 nombres que l'on peut écrire de la manière demandée.
Définition et formule
On dispose de n objets distincts. Une permutation de n objets est une manière de placer ces n objets distincts sur une rangée.
Le nombre de permutations de n objets est noté Pn , et vaut :

Pn = n ⋅ (n −1) ⋅ (n − 2) ⋅...⋅3⋅ 2 ⋅1
Explication
Il y a n choix pour