MathCONSTRUCTION DU CORPS DES REELS
Said EL HAJJI : elhajji.said@gmail.com Laboratoire Math´ matiques, Informatique et Applications e http://www.fsr.ac.ma/mia/
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Contents
1 2 3 Notion de fonction et notations Propri´ t´ s de base ee Majorant, minorant d’une partie de R 3.1 Borne inf´ rieure, borne sup´ rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4

1 Notion de fonction et notations
Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous-ensemble) de E si tout el´ ment de A est un el´ ment de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E. A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E) D´ finition e ` ´e - Une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B, on note f : A → B, est une relation qui a chaque el´ ment de ´e A associe au plus un el´ ment de B. On exprime une fonction de A vers B sous la forme: f : A −→ x −→ B f (x)

Introduction • A est appel´ l’ensemble de d´ part et B l’ensemble d’arriv´ e de la fonction f . e e e ´e • Dom(f ), le domaine de d´ finition de f, est l’ensemble des el´ ments de A , pour lesquels f (x) existe dans B e Dom(f ) = Df = {x ∈ R : f (x) existe dans B} ´e • f (A) est l’ensemble des el´ ments de B qui sont des images par f). Ainsi Dom(f ) ⊂ A et f (A) ⊂ B. • La fonction f est une application, lorsque A = Dom(f ). 1

• A est appel´ l’ensemble de d´ part et B l’ensemble d’arriv´ e de la fonction f . e e e ´e • Dom(f ), le domaine de d´ finition de f, est l’ensemble des el´ ments de A , pour lesquels f (x) existe dans B e Dom(f ) = Df = {x ∈ R : f (x) existe dans B} ´e • f (A) est l’ensemble des el´ ments de B qui sont des images par f). Ainsi Dom(f ) ⊂ A et f (A) ⊂ B. • La fonction f est une application, lorsque A = Dom(f ).

Example: Soit f : x −→ f (x) =

√ x 6 9−3x

Dom(f ) = {x / (9 − 3x) = 0 et (9 − 3x) ≥ 0} , ce qui donne: Dom(f ) = {x / (9 − 3x) > 0} = {x / x < 3} = ]−∞, 3[ . Example: Soit f : x −→ f (x) = ln(− |x|) On a : Dom(f ) =