S4 - compléments de mathématiques 1 - Analyse numérique département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble
Nous allons passer en revue plusieurs méthodes permettant de déterminer des valeurs approchées des solutions d’équations du type f (x) = 0.
Commeparailleursf(1)=−10,onsaitquef s’annuleunefoiset une seule entre 1 et 2.
Il sera parfois plus pratique de résoudre g(x) = x : il suffit de poser f(x) = g(x) − x pour voir que les deux types d’équations sont équivalents.
Maisf(1,5)=1,52 −2=0,25>0,donclezéroestentre1et1,5, f(1,25) ≃ −0,43 < 0 donc le zéro est entre 1,25 et 1,5, f (1, 375) ≃ −0, 1 < 0 donc le zéro est entre 1, 375 et 1, 5, f (1, 4375) ≃ 0, 06 donc le zéro est entre 1, 375 et 1, 4375, et ainsi de suite. On obtient ainsi un encadrement aussi précis que souhaité de . . .√2.
1 Dichotomie
La méthode la plus élémentaire et la plus simple à comprendre est l’algorithme de di- chotomie. exercice : déterminez (en fonction de a, b et n) le nombre d’étapes nécéssaires pour obtenir un encadrement de x de largeur 10−p.
Il est simple à mettre en oeuvre et présente l’avantage de n’exiger que la continuité (et pas la dérivabilité) de la fonction étudiée. Mais il a l’inconvénient de n’être utilisable que pour des solutions d’équations réelles. corrigé succint : La largeur de l’intervalle au bout de l’itération n est (b − a)/2n , et on veut donc (b−a)/2n ≤10−p,soitencore2n ≥(b−a)10p,soitencoren≥ pln(10)+ln(b−a)).
On rappelle cette conséquence directe du théorème des valeurs intérmédiaires : proposition : soit f : [a, b] → R continue et strictement monotone.
Si f(a)f(b) < 0 (c’est-à-dire si f(a) et f(b) sont de signe opposés), f s’annule une ln2 Par exemple, si b − a = 1 et p = 2, il suffit de 7 itérations, de 10 pour p = 3, de 14 pour p = 4, ... fois et une seule sur ]a, b[. exercice : on considère l’équation x4 + x − 1 = 0.
On fixe donc f : [a, b] → R continue et strictement monotone telle que f (a)f (b) < 0, et on note x son unique zéro sur ]a, b[. On