analyse vectorielle
Analyse vectorielle
Stanislas
Analyse vectorielle
I Syst`emes de coordonn´ees
I.1
I.1.1
Coordonn´ees cylindriques
R´evisions
z
#–
1. Exprimer un d´eplacement e´ l´ementaire d ℓ en coordonn´ees cylindriques.
2. Exprimer un volume e´ l´ementaire dτ.
3. Quelle est l’aire d’un cylindre de rayon r et de hauteur h ?
4. Quel est le volume compris entre un cylindre de hauteur h et de rayon r et un cylindre de rayon r + dr et de mˆeme hauteur ?
x = r cos θ
y
= r sin θ
z=z
M
uz
y
r
uθ
θ
ur
avec
r≥0
0 ≤ θ < 2π
−∞ ≤ z ≤ +∞
x
I.1.2
Expressions des op´erateurs d’ordre un en coordonn´ees cylindriques
1 ∂ f #–
∂ f #–
# – f = ∂ f #– grad ur + uθ + uz ∂r r ∂θ
∂z
(1)
1 ∂Aθ
∂Az
#– 1 ∂(r Ar )
+
+ div A = r ∂r r ∂θ
∂z
(2)
1 ∂Az
∂Aθ #–
∂Ar
∂Az #–
1 ∂(rAθ )
1 ∂Ar #–
#– #–
−
−
−
rot
A=
ur + uθ + uz r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r r ∂θ
(3)
△f =
I.2
I.2.1
∂2 f 1 ∂ f
1 ∂2 f ∂2 f
+
+
+
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂z2
(4)
Coordonn´ees sph´eriques
R´evisions
z
ur
#–
1. Exprimer un d´eplacement e´ l´ementaire d ℓ en coordonn´ees sph´eriques.
2. Exprimer un volume e´ l´ementaire dτ.
3. Quelle est l’aire d’une sph`ere de rayon r ?
4. Quel est le volume compris entre une sph`ere de rayon r et une sph`ere de rayon r + dr ?
M θ r
uθ
x
1/2
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
avec
y
ϕ
Formulaire
uϕ
uϕ
r≥0
0 ≤ ϕ < 2π
0≤θ≤π
PSI 2015–2016
Stanislas
I.2.2
Analyse vectorielle
E. Bellanger
Expressions des op´erateurs d’ordre un en coordonn´ees sph´eriques
#– #– rot A=
1 ∂ f #–
1 ∂ f #–
# – f = ∂ f #– ur + uθ + uϕ grad
∂r
r ∂θ r sin θ ∂ϕ
(5)
1 ∂(sin θ Aθ )
1 ∂Aϕ
#– 1 ∂(r2 Ar )
+
+ div A = 2
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ r (6)
∂(r Aϕ ) #–
∂(sin θAϕ )
1
∂Aθ #–
∂Ar #–
1 1 ∂Ar
1 ∂(rAθ )
−
−
−
ur + uθ + uϕ r sin θ
∂θ
∂ϕ r sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
△f =
∂f
1
1 ∂2 (r f )
1
∂
∂2 f sin θ
+
+ r ∂r2
∂θ
r2 sin θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2
1 ∂ r2 ∂r
(7)
(8)
r 2 ∂∂rf
II Formules sur les op´erateurs
# – f · g) = f ·