analyse vectorielle

641 mots 3 pages
E. Bellanger

Analyse vectorielle

Stanislas

Analyse vectorielle
I Syst`emes de coordonn´ees
I.1
I.1.1

Coordonn´ees cylindriques
R´evisions
z

#–
1. Exprimer un d´eplacement e´ l´ementaire d ℓ en coordonn´ees cylindriques.
2. Exprimer un volume e´ l´ementaire dτ.
3. Quelle est l’aire d’un cylindre de rayon r et de hauteur h ?
4. Quel est le volume compris entre un cylindre de hauteur h et de rayon r et un cylindre de rayon r + dr et de mˆeme hauteur ?



x = r cos θ



y
= r sin θ



 z=z

M

uz

y

r



θ

ur

avec

 r≥0 


0 ≤ θ < 2π



 −∞ ≤ z ≤ +∞

x

I.1.2

Expressions des op´erateurs d’ordre un en coordonn´ees cylindriques
1 ∂ f #–
∂ f #–
# – f = ∂ f #– grad ur + uθ + uz ∂r r ∂θ
∂z

(1)

1 ∂Aθ
∂Az
#– 1 ∂(r Ar )
+
+ div A = r ∂r r ∂θ
∂z

(2)

1 ∂Az
∂Aθ #–
∂Ar
∂Az #–
1 ∂(rAθ )
1 ∂Ar #–
#– #–



rot
A=
ur + uθ + uz r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r r ∂θ

(3)

△f =

I.2
I.2.1

∂2 f 1 ∂ f
1 ∂2 f ∂2 f
+
+
+
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂z2

(4)

Coordonn´ees sph´eriques
R´evisions

z

ur
#–
1. Exprimer un d´eplacement e´ l´ementaire d ℓ en coordonn´ees sph´eriques.
2. Exprimer un volume e´ l´ementaire dτ.
3. Quelle est l’aire d’une sph`ere de rayon r ?
4. Quel est le volume compris entre une sph`ere de rayon r et une sph`ere de rayon r + dr ?

M θ r



x
1/2



x = r sin θ cos ϕ



y = r sin θ sin ϕ



 z = r cos θ

avec

y

ϕ

Formulaire







r≥0



0 ≤ ϕ < 2π



 0≤θ≤π

PSI 2015–2016

Stanislas
I.2.2

Analyse vectorielle

E. Bellanger

Expressions des op´erateurs d’ordre un en coordonn´ees sph´eriques

#– #– rot A=

1 ∂ f #–
1 ∂ f #–
# – f = ∂ f #– ur + uθ + uϕ grad
∂r
r ∂θ r sin θ ∂ϕ

(5)

1 ∂(sin θ Aθ )
1 ∂Aϕ
#– 1 ∂(r2 Ar )
+
+ div A = 2
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ r (6)

∂(r Aϕ ) #–
∂(sin θAϕ )
1
∂Aθ #–
∂Ar #–
1 1 ∂Ar
1 ∂(rAθ )



ur + uθ + uϕ r sin θ
∂θ
∂ϕ r sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
△f =

∂f
1
1 ∂2 (r f )
1

∂2 f sin θ
+
+ r ∂r2
∂θ
r2 sin θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2
1 ∂ r2 ∂r

(7)
(8)

r 2 ∂∂rf

II Formules sur les op´erateurs
# – f · g) = f ·

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