Corrigé du baccalauréat S Asie juin 2006

E XERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Partie A. Restitution organisée de connaissances z z z On a arg ′ × z ′ = argz ⇐⇒ arg ′ + argz ′ = argz ⇐⇒ arg ′ = argz − argz ′ . z z z Partie B iz + 3 1. a. M d’affixe z (avecz = −i) est invariant par f si et seulement si z = ⇐⇒ z +i 2 2 z + iz = iz + 3 ⇐⇒ z = 3. Les points invariants sont donc les points J et K d’affixes respectives 3 et − 3. Le cercle de diamètre [AB] a pour rayon 2 et pour centre le point d’affixe i. Or la distance de ce point à J est égale à ( 3)2 + 12 = 2, donc J appartient au cercle de diamètre [AB]. Même calcul pour K. 2 − 2i i(−2 + 3i = = −1. Donc C′ apparb. Si c ′ est l’affixe de C′ , alors c ′ = −2 + i + i −2 + 2i tient à l’axe des abscisses. iz + 3 i(z − 3i) 2. On peut écrire z ′ = = . En prenant les arguments de ces deux z +i z − (−i) complexes (et en utilisant le résultat de la partie A) on obtient arg(z ′ ) = argi + π z − 3i −→ −→ − − à 2π près ⇐⇒ arg(z ′ ) = + AM , BM à 2π près ⇐⇒ arg z − (−i) 2 π −→ −→ − − arg(z ′ ) = MA , MB + à 2π près. 2 π π ′ 3. a. z est imaginaire pur si et seulement si son argument est ou − . Les 2 2 points M correspondants sont tous les points de la droite (AB) excepté les points A et B. π −→ −→ − − b. – Si M appartient au demi-cercle contenant K, alors MA , MB = et 2 par conséquent arg(z ′ ) = π, donc M ′ a une affixe réelle négative. π −→ −→ − − – Si M appartient au demi-cercle contenant J, alors MA , MB = − et 2 par conséquent arg(z ′ ) = 0, donc M ′ a une affixe réelle positive.

Dans tous les cas si M appartient au cercle de diamètre [AB] privé des points A et B, le point M ′ appartient à l’axe des abscisses. Autre méthode numérique : Si M appartient au cercle de diamètre [AB], son affixe s’écrit z = i + 2e2iθ , avec θ ∈ [0 ; 2π]. On trouve alors que cos θ ∈ R. z′ = 1 + sin θ

Corrigé du baccalauréat S

3 ×

B

2

C

×

1

−2

×

K

C′ −1 1

J

×

2

−1 ×

A

−2 E XERCICE 2 Réservé