Mathématiques Robert Gédon

Devoir n°2

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Exercice 1
Partie I – Analyse de la figure 1.

Corrigé

a. Les droites (OI) et (OJ), supports des diagonales du carré IJKL, sont perpendiculaires. Donc l'angle AOB est droit. [OA] et [OB] sont deux rayons du cercle de centre O et de rayon OA. Le triangle AOB est donc un triangle rectangle isocèle. Les deux angles adjacents à sa base [AB] sont donc égaux à 45°. OAB = 45°. b. L'angle IOJ est droit et OI = OJ car IJKL est un carré ; le triangle IOJ est donc isocèle rectangle. Les deux angles adjacents à sa base [IJ] sont isométriques et sont chacun égaux à 45°. OIJ = 45° et comme P est le milieu de [IJ], OIP = 45°. c. Le triangle API est isocèle car A est un point du cercle de centre I et de rayon IP. Les angles IAP et API adjacents à la base sont donc isométriques. Les angles PIA et OIP sont supplémentaires, leur somme vaut 180°. Or OIP = 45°, donc PIA = 135°. La somme des angles du triangle PIA valant 180°, la somme des angles IAP et API vaut 45°. Chacun de ces angles est donc égal à 22,5°. Autre méthode Dans le cercle de centre I et de rayon IP, l'angle inscrit IAP intercepte le même arc que l'angle au centre OIP égal à 45°. Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. IAP = 22,5°. d. L'angle IAB est égal à 45° (car O, I et A sont alignés). L'angle IAP est égal à 22,5°. (question 1.c) L'angle IAB est la réunion des angles adjacents IAP et PAB ; On en déduit que l'angle PAB est égal à 22,5°. Cela prouve que (AP) est la bissectrice intérieure de l'angle OAB. Remarque : La bissectrice d'un secteur angulaire est une demi-droite portée par l'axe de symétrie du secteur. 2. a. P est le milieu de [IJ], donc IJ = 2 r. IJKL est un carré, de centre O, [IK] est une de ses diagonales, donc IK = IJ 2 et IK = 2r 2. 1 OI = 2 IK, donc OI = r 2. I étant un point de [OA], OA = OI + IA. On sait que IA = IP, donc : OA = r 2 + r. En mettant r en facteur commun, on obtient R = OA = r ( 2 + 1)