Liban 2003 I - ÉVOLUTION TEMPORELLE DE DEUX OSCILLATEURS (9 points) http://labolycee.org A – Oscillateur mécanique Une table à digitaliser est un dispositif permettant d'enregistrer les positions d'un système mécanique en fonction du temps. Un solide S, de masse m = 100 g, relié à une soufflerie réglable est accroché à deux ressorts identiques à spires non jointives. On enregistre la position de son centre d'inertie G au cours du temps à l'aide de l'ordinateur connecté à une table à digitaliser horizontale. (voir schéma n° 1)

Schéma n° 1 L'oscillateur décrit ci-dessus est équivalent à un solide de masse m accroché à un seul ressort à spires non jointives de constante de raideur k. La position du centre d'inertie G 2 du solide est repérée par son abscisse x dans le repère (O, i ) (voir le schéma n° de l'annexe à rendre avec la copie). A l'équilibre, le centre d'inertie G coïncide avec l'origine O du repère. On réalise trois enregistrements dans les conditions suivantes: a. Soufflerie à puissance maximale ; b. Puissance de la soufflerie légèrement diminuée ; c. Puissance de la soufflerie fortement diminuée . On obtient les enregistrements 1, 2 et 3 ci dessous :

Enregistrement 1

Enregistrement 2

1. Indiquer pour chacun des trois enregistrements: - la condition (a, b ou c) de fonctionnement de la soufflerie ; - le régime d'évolution (périodique, pseudo-périodique ou apériodique). Dans toute la suite on se place dans le cas où les frottements sont négligeables. 2 2. a) Sur le schéma n° ( annexe à rendre avec la copie), représenter centre de gravité G les forces s'exerçant à l'instant t sur le solide S, et les nommer. au

b) En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation différentielle du d²x + k.x = 0 . centre d'inertie G du solide S est : m dt²
c) La solution analytique de l'équation différentielle est de la forme :  2π t  x = XM cos  + Φ0  .  T   0  Comment nomme-t-on les constantes XM et Φ0 ? Déterminer leurs valeurs sachant