ASECNA

EAMAC

ANNALES DES SUJETS DES CONCOURS DE RECRUTEMENT DES ELEVES TECHNICIENS SUPERIEURS DE LA NAVIGATION AERIENNE DES ELEVES TECHNICIENS SUPERIEURS DE LA METEOROLOGIE DES ELEVES CONTROLEURS DE LA NAVIGATION AERIENNE

1996 – 1998 MATHEMATIQUES FRANCAIS ANGLAIS PHYSIQUE

ASECNA ECOLE AFRICAINE DE LA METEOROLOGIE ET DE L’AVIATION CIVILE SUJETS DES CONCOURS DE RECRUTEMENT DES ELEVES TECHNICIENS SUPERIEURS DE LA NAVIGATION AERIENNE DES ELEVES TECHNICIENS SUPERIEURS DE LA METEOROLOGIE DES ELEVES CONTROLEURS DE LA NAVIGATION AERIENNE

MATHEMATIQUES

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EAMAC/DE/BS

AVRIL 1996

Exercice : Soit P le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, u, v). Soit m un nombre réel, on considère l’application du plan dans luimême qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’, défini par : z’ = 1)

(

+

) z+

(

−

)

a ) On pose z= x + iy et z’ = x’ + iy’ (x, y, x’ et y’ réels). Calculer x’ et y’ en fonction de x et y.

b ) Démonter que, quel que soit le réel m, l’image O’ de O par appartient à une droite dont on donnera une équation cartésienne. 2 ) Est-il possible de déterminer m pour que l’application soit : a ) une translation ? b ) une rotation de centre O ? Dans le cas d’une réponse positive, préciser la ou les valeurs de m et donner les éléments géométriques de la transformation correspondante. 3 ) On considère le cas particulier où m = 1 et on désigne par ∆ la droite d’équation x + y = 0. Déterminer l’image ∆ ’ de ∆ par (faire la figure). Quelle est l’image de la droite ∆ par l’application ( = ) Problème: On considère la suite (Un) définie pour
=

≥

par :

I Soit f la fonction définie par sur ] +∞[ par :

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EAMAC/DE/BS

=

−

+

−

−

1 ) Calculer la dérivée f’ de f et vérifier que, pour tout x dans ] +∞[ , on a :
′ =

−

−

2 ) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 1. 3 ) Montrer que la limite de f(x), quand x tend vers +∞ est égale à 0. 4 ) Dresser le tableau de