PCSI

´ ´ DEVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES n◦ 1

21/09/2001 (3 heures)

EXERCICE 1 (deux questions ind´pendantes) e π π π π π 1.a. En utilisant = − , calculer cos et sin . 12 4 6 12 12 √ √ √ √ b. R´soudre, dans IR, l’´quation ( 6 + 2) cos x + ( 6 − 2) sin x = 2. e e ´ 2. Soient a, b, c trois r´els. Ecrire sous forme de produit l’expression e A = cos(a + b + c) + cos a + cos b + cos c . EXERCICE 2 1 S √ et un = √n . Pour tout n ∈ IN∗ , on pose Sn = n k k=1 √ √ a. Par r´currence, montrer que ∀n ∈ IN∗ Sn ≤ n − 1 + n. e √ b. Par r´currence, montrer que ∀n ∈ IN∗ Sn ≥ 2 n + 1 − 2. e c. La suite (Sn ) est-elle convergente ? d. Montrer que la suite (un ) converge et d´terminer sa limite. e n ` PROBLEME PARTIE A On consid`re la fonction f d´finie sur [0, +∞[ par f (x) = e e √ x e−x . → → − − On note Γ sa courbe repr´sentative dans le plan muni d’un rep`re orthonormal (O; ı ,  ). e e ´ 1. Etudier la d´rivabilit´ de f en z´ro ; que peut-on en d´duire pour la courbe Γ ? e e e e 2. Calculer la d´riv´e f (x) pour x > 0. En d´duire les variations de f . Quelle est la limite de f e e e en +∞ ? 3. Construire la courbe Γ. PARTIE B Le but de cette partie est la r´solution de l’´quation f (x) = x sur ]0, +∞[. e e 1. On pose g(x) = ln x + 2x pour x > 0. a. Montrer que, sur IR∗ , l’´quation f (x) = x ´quivaut ` l’´quation g(x) = 0. e e a e + b. Montrer que l’´quation g(x) = 0 admet une solution unique sur IR∗ , que l’on notera α. e + Montrer que α appartient ` l’intervalle I = [0, 4 ; 0, 5]. a 2. Montrer que, pour tout x ∈ I, on a f (x) ∈ I. 1 2x − 1 3. Montrer que ∀x ∈ I |f (x)| ≤ (on pourra montrer d’abord que |f (x)| = f (x) ). 8 2x 4. Soit (un )n∈IN une suite d´finie par la donn´e de son premier terme u0 , avec u0 ∈ I, et la e e relation de r´currence ∀n ∈ IN e un+1 = f (un ) a. Montrer que ∀n ∈ IN un ∈ I. 1 b. Montrer que ∀n ∈ IN |un+1 − α| ≤ |un − α|. 8 c. En d´duire que la suite (un ) converge vers α. e d. Pour quelle valeur de n est-on sˆr d’avoir |un − α| ≤ 10−6 ? u