Université de Savoie

DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique

ANNEXE 1 NOTIONS SUR LA DISTRIBUTION DE DIRAC

1 Introduction.
Les mathématiques « classiques » analysent les relations entre des fonctions continues et dérivables et se révèlent un outil commode pour traiter les systèmes régis par des équations différentielles, à condition que l’excitation soit une fonction continue et dérivable. Exemple: réponse d’un circuit RLC à une excitation e(t) sinusoïdale. Dans certains cas, en physique, l’excitation e(t) est de très courte durée du point de vue de l’observateur flash d’un appareil photo par exemple. L’excitation e(t) est nulle avant le déclenchement du flash, très intense pendant un instant très bref, puis nulle ensuite. On est alors obligé de renoncer à une expression de l’excitation e(t) en raison des énormes discontinuités ou des variations non analysables. Les excitations e(t) ne sont en effet ni dérivables, ni même continues par morceaux. Ce ne sont pas des fonctions mais des distributions. Dans de nombreux domaines de la physique, on peut trouver des phénomènes intenses et brefs plus proches de fonctions que de distributions pour l’observateur. ÉCLAIR - FOUDRE : phénomène optique, acoustique, électrique. CHOC : phénomène mécanique (voir §5, chapitre 2). IMPULSION RADAR : très brèves et très intenses : ondes électromagnétiques. C’est le mathématicien français Laurent Schwartz qui à la demande des physiciens a élaboré en 1947 la « Théorie des distributions », outil indispensable pour analyser mathématiquement de façon rigoureuse de tels phénomènes. Cette théorie, certes très élégante, ne sera pas abordée dans ce cours. Elle est en règle générale étudiée en second cycle universitaire. Nous nous contenterons ici de façon plus empirique de considérer certaines distributions comme des passages à la limite de fonctions continues et dérivables. Nous procéderons ainsi pour l’échelon unité et ses dérivées.

2 Échelon unité, distribution de