Annexe

Pages: 6 (1459 mots) Publié le: 27 mars 2012
Université de Savoie

DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique

ANNEXE 1 NOTIONS SUR LA DISTRIBUTION DE DIRAC

1 Introduction.
Les mathématiques « classiques » analysent les relations entre des fonctions continues et dérivables et se révèlent un outil commode pour traiter les systèmes régis par des équations différentielles, à condition que l’excitation soit une fonctioncontinue et dérivable. Exemple: réponse d’un circuit RLC à une excitation e(t) sinusoïdale. Dans certains cas, en physique, l’excitation e(t) est de très courte durée du point de vue de l’observateur flash d’un appareil photo par exemple. L’excitation e(t) est nulle avant le déclenchement du flash, très intense pendant un instant très bref, puis nulle ensuite. On est alors obligé de renoncer à uneexpression de l’excitation e(t) en raison des énormes discontinuités ou des variations non analysables. Les excitations e(t) ne sont en effet ni dérivables, ni même continues par morceaux. Ce ne sont pas des fonctions mais des distributions. Dans de nombreux domaines de la physique, on peut trouver des phénomènes intenses et brefs plus proches de fonctions que de distributions pour l’observateur.ÉCLAIR - FOUDRE : phénomène optique, acoustique, électrique. CHOC : phénomène mécanique (voir §5, chapitre 2). IMPULSION RADAR : très brèves et très intenses : ondes électromagnétiques. C’est le mathématicien français Laurent Schwartz qui à la demande des physiciens a élaboré en 1947 la « Théorie des distributions », outil indispensable pour analyser mathématiquement de façon rigoureuse de telsphénomènes. Cette théorie, certes très élégante, ne sera pas abordée dans ce cours. Elle est en règle générale étudiée en second cycle universitaire. Nous nous contenterons ici de façon plus empirique de considérer certaines distributions comme des passages à la limite de fonctions continues et dérivables. Nous procéderons ainsi pour l’échelon unité et ses dérivées.

2 Échelon unité, distribution deDirac.
2.1 Échelon unité u(t). 1 1 pour t ≥ 0 u( t ) =  0 pour t < 0 u(t)

t 0 On peut encore considérer u(t) comme une fonction, mais elle n’est ni continue ni dérivable. Sa dérivée n’est donc pas une fonction: c’est une distribution nommée DISTRIBUTION DE DIRAC ou encore IMPULSION DE DIRAC notée δ(t). - 63 -

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2.2Distribution de Dirac. ∞ pour t = 0 δ ( t) =   0 pour t ≠ 0

Pour mieux comprendre cette distribution δ(t), considérons l’échelon u(t) comme la limite quand t m → 0 de la fonction y(t) représentée ci-dessous et indéfiniment dérivable. La distribution δ(t) sera alors la limite quand t m → 0 de la dérivée y’(t) de y(t). u( t ) = lim[ y( t )] tm → 0 y(t) u(t) 1 1

t -tm 0 1 y’(t) +tm Airehachurée A=1
+∞ dy A= ∫ . dt = y ( + ∞ ) − y( − ∞ ) = 1 −∞ dt

t 0 δ(t) 1 δ ( t ) = lim[ y' ( t ) ]
tm → 0

A -tm 0 +tm

t 1

t 0

δ(t) distribution de Dirac ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole

0

Attention: le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire A de cette impulsion (et non la hauteur de l’impulsion). +∞ dy En effet: A = ∫ . dt = y(+∞) − y( −∞) = 1 − 0 = 1 −∞ dt La distribution de Dirac est donc la limite d’une impulsion rendue de plus en plus étroite, son aire restant égale à 1. Remarque: l’impulsion de Dirac peut être considérée comme la limite d’une multitude de fonctions « bosses » quelque soit la forme exacte de la bosse (ou impulsion). Il suffit pour cela: 1. que la bosse soit toujours positive, 2. que t m → 0, 3. quel’aire A reste égale à 1.

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Exemples de fonctions tendant vers δ(t):
RECTANGLE RECTANGLE

x(t) 1/ε

v( t ) =

1 ε

pour t ∈ [ 0, ε ]

v(t) 1/2ε

v( t ) =

1 2ε

pour t ∈ −ε , +ε

[

]

v( t ) = 0 pour t ∉ [ 0, ε]

v( t ) = 0 pour t ∉ −ε ,+ε

0

ε w(t)

t δ ( t ) = lim [ x (...
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