Durée : 4 heures

Baccalauréat S Antilles-Guyane
11 septembre 2013 - Corrigé
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats

5 points

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Partie B
1. Affirmation 1 : ∆ est orthogonale à toute droite du plan P. ∆ a pour vecteur directeur δ(1 ; 3 ; −2)
−−→
La droite (AB) a pour vecteur directeur AB (4 ; −2 ; −1).
−−→
La droite (AC) a pour vecteur directeur AC (−1 ; −1 ; −2).
−−→
−−→
Or δ · AB = 4 − 6 + 2 = 0 et δ · AC = −1 − 3 + 4 = 0.
Donc ∆ est orthogonale à deux droites (AB) et (AC) sécantes du plan P : elle est orthogonale à ce plan. VRAIE.
2. Affirmation 2 : les droites ∆ et (AB) sont coplanaires.
On a vu que ∆ et (AB) étaient orthogonales, donc elles ne sont pas parallèles.
Si elles sont coplanaires elles sont donc sécantes en un point.
−−→
−−→
En traduisant l’égalité vectorielle AM = t ′ AB , on obtient une équation car
′
4t
 x = y = −2t ′ − 1 avec t ′ appartenant à R. tésienne de la droite (AB) :

z = −t ′ + 1
S’il existe un point commun aux deux droites ses coordonnées vérifient le système :


= 4t ′
= 4t ′
 t
 t
′
′
12t
= −2t ′
3t − 1
= −2t − 1 ⇐⇒ système qui n’a mani

′
′
−8t = −t ′ − 7
−2t + 8 = −t + 1 festement pas de solution. FAUSSE
3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne x + 3y − 2z + 5 = 0.
On peut chercher une équation du plan P mais le plus simple est de vérifier si les coordonnées de A, B et C vérifient l’équation proposée :
On a 0 − 3 − 2 + 5 = 0, vraie ;
4 + 3 × (−3) − 2 × 0 + 5 = 0 vraie ;
−1 − 6 + 2 + 5 = 0 vraie. VRAIE
→
−
4. On appelle D la droite passant par l’origine et de vecteur directeur u (11 ; −1 ; 4).
Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d’équation x +
3y − 2z + 5 = 0.
O n’appartient pas au plan : si la droite D est parallèle au plan, elle est ortho→
−
gonale au vecteur n (1 ; 3 ; −2) normal au plan.
→
− →
−
Or u · n = 11 − 3 − 8 = 0. Les vecteurs sont bien orthogonaux, la droite D est strictement parallèle au plan d’équation x + 3y − 2z + 5 = 0.