Dans tout l’exercice, I désigne un intervalle, et a un point de I.

I Généralités
A) Définitions

Soit , .
On dit que f admet un développement limité (DL) à l’ordre n en a lorsqu’il existe des réels et une fonction qui tend vers 0 en a tels que : Autrement dit :
Lorsqu’il existe tels que, au voisinage de a : Ou encore lorsqu’il existe tels que : au voisinage de 0.
Ainsi, la notion de DL à l’ordre n en a pour revient à la notion de DL à l’ordre n en 0 pour .

Exemples :
• L’égalité constitue un DL à l’ordre 2 en 0 de la fonction cosinus.
• On veut un DL à l’ordre 2 en de cosinus : • DL à l’ordre 3 en 0 de la fonction : • DL à l’ordre 5 en 0 de la fonction (Vrai à n’importe quel ordre)

B) Troncature d’un DL

Proposition :
Soit , . Si f admet un DL à l’ordre n en a, alors, pour tout , f admet un DL à l’ordre p en a, obtenu par troncature.
En effet :
- Pour , ok
- Sinon, :

II DL et dérivation

Proposition :
Soit ; f a un DL à l’ordre 0 en a si et seulement si f est continue en a, et dans ce cas ce DL est , où tend vers 0 en 0.
En effet :
- Si f est continue en a, alors , donc .
- Si f admet un DL à l’ordre 0 en a, il s’écrit , donc , donc f est continue en a, et .

Proposition :
Soit ; f admet un DL à l’ordre 1 en a si et seulement si f est dérivable en a, et dans ce cas ce DL est (1)
En effet :
- Si f admet un DL à l’ordre 1 en a, alors
Donc avec , , et pour , .
- Si f est dérivable en a, on a vu que l’égalité (1) est vraie.

Attention : il est faux cependant qu’on ait un tel rapport pour les ordres supérieurs à 2.
Exemple :
Soit
Alors f admet un DL à l’ordre 2 en 0 : Donc f admet un DL à l’ordre 1 en 0 qui s’écrit , donc f est dérivable en 0 et . Est-elle deux fois dérivable en 0 ?
Pour ,
Donc
Donc f n’est pas deux fois dérivable en 0.

Cependant :
Soit .
Soit f de classe sur I. Alors f admet en tout point a de I un DL à