Approches analytiques du théorème de d’Alembert-Gauss : un bestiaire par Étienne FIEUX, Patrice LASSÈRE & Frédéric RODRIGUEZ
Étienne Fieux & Patrice Lassère : Laboratoire de Mathématiques E.Picard UMR CNRS
5580, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, fieux@picard.ups-tlse.fr & lassere@picard.ups-tlse.fr, Frédéric Rodriguez : Laboratoire du
CERS, UMR CNRS 5177, Université Toulouse II, 5, allées Antonio Machado, 31058
Toulouse Cedex 9, frederic.rodriguez@univ-tlse2.fr …afficher plus de contenu…

On peut alors trouver c ∈ C∗ tel que :
| Q(c) |< 1
En effet, soit d une racine k-ième de −1/b. Puisque bdk = −1, on peut écrire :
∀ t ∈ [0, 1] , |Q(dt)| 6 |1− tk| + |dktkR(dt)| = 1− tk + tk|dkR(dt)| et, par continuité deR (en 0 oùR s’annule), on peut trouver t ∈]0, 1[ tel que |dkR(dt)| < 1/2 et également : |Q(dt)| < 1− tk + tk/2 < 1.
On obtient à présent l’inégalité d’Argand en associant au polynôme non constant P le po- lynôme Q défini par :
Q(z) =
P (c+ z)
P (c)
Puisque Q(0) = 1, on peut écrire Q(z) := 1 + bzk + zkR(z) ∈ C[z] avec b ∈ C∗, R ∈ C[z] vérifiant R(0) = 0 et, d’après le résultat qui précède, il existe un nombre complexe u tel que
|Q(u)| < 1. Ainsi, si c′ = c+ u, on obtient l’inégalité cherchée …afficher plus de contenu…

Il s’ensuit que f ∈ O(C) et, par le théorème de Cauchy :
(2)
∫ 2π
0
dθ
P (2 cos θ)
=
∫
|z|=1
f(z)dz = 0 , ce qui contredit (1) et achève la démonstration. �
Preuve 2 du TFA : Pour R > 0, on considère dans le demi-plan {Im(z) > 0}, le circuit
ΓR orienté positivement, constitué du demi-cercle CR centré à l’origine d’extrémités (R, 0) et (−R, 0) et du segment [−R,R]. Selon ce qui précède, si P ∈ C[z] est non constant et sans zéro sur C, le théorème de Cauchy nous assure que
(3)
∫
ΓR
dz
P (z)P (z)
= 0, ∀R > 0 .
6. R.P. Boas, Amer. Math. Monthly, 71(1964), 298-300.Revue de la filière Mathématiques 5
Mais, pour R > 0 :
0 =
∫
ΓR dz P (z)P (z)