Arithmétique / PGCD / Euclide
A) Les bases de l’arithmétique
1) Définition a et b sont des entiers non nuls. Si a ÷ b est un entier , on peut dire que b est un diviseur de a .
2) Vocabulaire
Si b est un diviseur de a , on peut aussi dire que : b divise a a est divisible par b a est un multiple de b
3) Remarque
Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers
Un nombre entier positif non nul est toujours divisibles par lui-même.
B) PGCD
1) PGCD
Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
2) Méthode de calcul du PGCD
a) La méthode des listes
Exemple avec 4 et 12 :
4= 1x4 12=1x12
4=2x2 12=2x6
Les diviseurs de 4 : 1, 2, 4. 12=3x4 Les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Diviseurs communs à 4 et 12 : 1, 2, 4.
PGCD(4 ;12)=4
b) Méthode de l’algorithme d’Euclide
Je calcule PGCD(425 ;136) par la méthode de l’algorithme d’Euclide.
425=136x3+17
136=17x8+0
Le dernier reste non nul est 17 donc PGCD(425 ;136)=17.
C) Nombres premiers
Deux nombres entiers positifs sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1 et donc que le PGCD=1.
D) Fraction irréductible
Une fraction irréductible est une fraction qui a été réduite au max.
Pour rendre une fraction irréductible , il faut que cette fraction soit simplifier par le PGCD du numérateur et du dénominateur. Lorsque que le PGCD de ceux-ci est 1 alors la fraction est devenue irréductible.