Relation de B´zout e
´ Exercice 1. Equations ` coefficients entiers a Soient a, b, c trois entiers relatifs. On consid`re l’´quation : ax + by = c, dont on recherche les solutions dans Z2 . e e 1) Donner une condition n´c´ssaire et suffisante pour que cette ´quation admette une solution. e e e 2) Soit (x0 , y0 ) une solution du probl`me de B´zout : ax0 + by0 = d. D´terminer toutes les solutions de ax + by = c e e e en fonction de a, b, c, d, x0 et y0 . 3) R´soudre dans Z2 : 2520x − 3960y = 6480. e ´ Exercice 2. Equations ` coefficients entiers a R´soudre dans Z : e 1) 95x + 71y = 46. 2) 20x − 53y = 3. 3) 12x + 15y + 20z = 7. Exercice 3. Congruences simultan´es e 1) Soient a, b, a , b ∈ Z avec b ∧ b = 1. Montrer que le syst`me : e sont congrues entre elles modulo bb . 2) G´n´raliser. e e Exercice 4. Congruences simultan´es e R´soudre : e 1) x ≡ 2 [140] x ≡ −3 [99] .   x ≡ 3 [4] 2) x ≡ −2 [3]  x ≡ 7 [5] . x ≡ a [b] poss`de des solutions et qu’elles e x ≡ a [b ]

Exercice 5. Congruences simultan´es e Une bande de 17 pirates dispose d’un butin compos´ de N pi`ces d’or d’´gale valeur. Ils d´cident de se le partager e e e e ´galement et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci re¸oit 3 pi`ces. e c e Mais une rixe ´clate et 6 pirates sont tu´s. Tout le butin est reconstitu´ et partag´ entre les survivants comme e e e e pr´c´demment; le cuisinier re¸oit alors 4 pi`ces. e e c e Dans un naufrage ult´rieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauv´s. Le butin est ` nouveau partag´ de e e a e la mˆme mani`re et le cuisinier re¸oit 5 pi`ces. e e c e Quelle est alors la fortune minimale que peut esp´rer le cuisinier lorsqu’il d´cide d’empoisonner le reste des pirates ? e e Exercice 6. D´composition ` coefficients positifs e a Soient a, b ∈ N∗ premiers entre eux. Montrer que : ∀ x

ab, ∃ u, v ∈ N tels que au + bv = x.

bezout.tex mardi 20 f´vrier 2007 e

Solutions

Exercice 1. 3) x = 1 + 11k,

y = −1 + 7k.

Exercice 2. 1) x = 67 − 71k, y = −89