Assurance au Maroc

17493 mots 70 pages
Chaînes de Markov

Jean Bérard

2

Avertissement
Ces notes sont en cours d'élaboration. Il se peut donc qu'y subsistent un certain nombre d'erreurs, d'incohérences, et/ou de passages inachevés.

Table des matières

Introduction

7

1 Propriété de Markov

9

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

Dénition fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesure sur l'espace des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposition d'une trajectoire selon les retours successifs en un point
Action sur les mesures, action sur les fonctions : le noyau comme opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Extensions de la notion de chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Chaîne de Markov en temps discret et espace quelconque . . .
1.7.2 Chaîne de Markov en temps continu et espace discret . . . .
1.7.3 Processus de Markov en temps continu . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Champs markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.5 Chaînes de Markov avec plusieurs pas de mémoire . . . . . .
1.7.6 Semi-chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.7 Chaînes de Markov cachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
12
17
19
21
23
26
26
27
35
36
37
38
38
41

2 Décompositions de l'espace d'états, récurrence/transience

45

3 Théorie du potentiel, mesures et lois invariantes

63

2.1 Points essentiels, communication entre points, irréductibilité, période
2.1.1 Points essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Communication entre points, irréductibilité . . . . . . . . . .
2.1.3 Période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Récurrence et transience . . . .

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