2003, Juin, Nouvelle Calédonie Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services. On note, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In) la probabilité de l’évènement In. Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée : • p(I1) = p1 = 0,75. • Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04. • Sachant qu’il n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64. On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé. PARTIE 1
On pourra, si on le souhaite, s’aider d’un arbre pondéré.

1. Préciser pIn ( In+1 ) et pIn ( In+1 ) puis calculer p ( In+1 ∩ In ) et p ( In+1 ∩ In ) en fonction de pn (n ∈ 2. En déduire pn+1 = −0, 6 pn + 0, 64 . 3. On considère la suite (qn) définie sur * par : qn = pn − 0,4. a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique. b. En déduire qn puis pn en fonction de n. c. Donner une valeur approchée de p6 à 10−3 près par excès.

*).

PARTIE 2 – Ne pas la traiter Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau. On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373. Donner, à 10−3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des