Composantes symétriques
1. Rappel sur un système équilibré

Figure 1 Système équilibré (balancé)

2. Les équations de transformation
Soit un système d’équations dans le domaine phaseur : Vabc = ZIabc
⎡ Va ⎤ ⎡ Zaa Zab ⎢V ⎥ = ⎢Z ⎢ b ⎥ ⎢ ba Zbb ⎢ Vc ⎥ ⎢ Zca Zcb ⎣ ⎦ ⎣ Si dans le cas particulier les termes mutuels sont nuls : 0 ⎡ Va ⎤ ⎡ Zaa ⎢V ⎥ = ⎢ 0 Z bb ⎢ b⎥ ⎢ ⎢ Vc ⎥ ⎢ 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ Zac ⎤ ⎡Ia ⎤ Zbc ⎥ ⎢Ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ Zcc ⎥ ⎢Ic ⎥ ⎦⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡Ia ⎤ 0 ⎥ ⎢Ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ Zcc ⎥ ⎢Ic ⎥ ⎦⎣ ⎦

(1) (2)

(3)

On doit aussi rappeler que l’opérateur a est donné par : a = 1120° = -0.5+j0.86602540378444 a2 = 1240° = −0.5 − j0.86602540378444 a3 = 1

(4)

1 + a + a2 = 0

(5) (6)

1 − a = 3 −30°

1/4, Jean Mahseredjian, ELE-3400, École Polytechnique de Montréal

a − 1 = 3 150°

(7) (8) (9) (10)

1 − a = 3 30°
2

a − a = 3 90°
2

1 = a2 a

2.1.

Transformation de Fortescue, ‘power variant’
1⎤ ⎥ a⎥ ⎥ a2 ⎦
1⎤ ⎥ a2 ⎥ ⎥ a⎦

Matrice de transformation de type ‘power variant’ : ⎡1 1 ⎢ A = ⎢1 a2 ⎢ ⎣1 a
A
−1

(11)

⎡1 1 1⎢ = ⎢1 a 3⎢ 2 ⎣1 a

(12)

On note que : A t A* = 3 La transformation du système d’équations (1) donne : AV012 = ZA I012 avec : Vabc = AV012
⎡ Va ⎤ ⎡1 1 ⎢ V ⎥ = ⎢1 a2 ⎢ b⎥ ⎢ ⎢ Vc ⎥ ⎢1 a ⎣ ⎦ ⎣ 1 ⎤ ⎡ V0 ⎤ ⎥ a ⎥ ⎢ V1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ a2 ⎦ ⎢ V2 ⎥ ⎣ ⎦

(13) (14) (15) (16)

V012 = A −1Vabc
⎡1 1 1 ⎤ ⎡ Va ⎤ ⎡ V0 ⎤ ⎢ V ⎥ = 1 ⎢1 a a2 ⎥ ⎢ V ⎥ ⎥⎢ b⎥ ⎢ 1⎥ 3 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ V2 ⎥ 1 a2 a ⎦ ⎢ Vc ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Iabc = AI012 Dans ces équations on réfère par défaut à la phase a : ⎡ V0 ⎤ ⎡ V0a ⎤ ⎢V ⎥ = ⎢V ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1a ⎥ ⎢ V2 ⎥ ⎢ V2a ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(17) (18) (19)

(20)

Il est possible de calculer pour les autres phases en faisant les changements d’angle appropriés : ⎡ V0a ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢V ⎥ = ⎢ 1 ⎥ V ⎢ 0b ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ V0c ⎥ ⎢ 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ V1a ⎤ ⎡1 ⎢ V ⎥ = ⎢ a2 ⎢ 1b ⎥ ⎢ ⎢ V1c ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ V1 a⎥ ⎦

(21)

(22)

2/4, Jean Mahseredjian, ELE-3400, École Polytechnique de Montréal

⎤ ⎡ V2a ⎤ ⎡1 ⎥ ⎢V ⎥ = ⎢ a ⎥ V2 ⎢ 2b ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ V2c ⎥ ⎢ a ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ On note ici que dans le cas de la