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2 pages
Corrig´e TD SA 11Repr´esentation d’´etat d’un pendule
21 d´ecembre 2004
1
Chariot et pendule
1.1
Repr´ esentation d’´ etat L’entr´ee U est la force F appliqu´ee au chariot, la sortie Y =
Le vecteur d’´etat est : X =
X˙ =
x θ x˙ θ˙
0
0
0
0
m g
0
− mpc
(m +m )g
0 − cmc lpp
Y =
1
0
0
0
0
1
0
0
T
.X +
0
0
1 mc 1 mc lp
.F
.X
L’application num´erique donne :
A=
1.2
0
0
0
0
0 −5
0 −30
1
0
0
0
0
1
0
0
B=
Observabilit´ e La matrice d’observabilit´e donne :
OB =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0 −5 0
0
0 −30 0
0
0
0
0 −5
0
0
0 −30
1
T
.
. La repr´esentation d’´etat est :
1 0 0 0
0 1 0 0
x θ
0
0
5
10
cette matrice est de rang 4. Si la sortie est seulement l’angle θ, le vecteur
C2 est limit´ee `a la deuxi`eme ligne du vecteur C pr´ec´edent et la matrice d’observabilit´e devient :
OB2 =
0
1
0
0
0
0
0
1
0 −30 0
0
0
0
0 −30
Cette matrice est de rang 2 et on peut voir que seuls les variables d’´etat 2 et 4 c’est `a dire θ et θ˙ sont observables.
1.3
Syst` eme r´ eduit De l’´equation diff´erentielle (2) du syst`eme, on a :
T (p) =
p2
10
+ 30
On peut en d´eduire une repr´esentation d’´etat d’ordre 2 :
X˙ =
1.4
0
1
−30 0
.X +
0
10
.F
Y =
1 0
.X
Retour d’´ etat Pour avoir en BF la fonction de transfert
H(p) =
10
(p + 3)(p + 10)
il faut avoir une repr´esentation d’´etat en BF avec
ABF =
0
1
−30 −13
Or ABF = A − B.G. On en d´eduit le retour d’´etat
G=
0 −1.3
ce qui signifie un retour sur la vitesse angulaire avec un gain de −1.3.
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