Automatisme

Pages: 251 (62588 mots) Publié le: 6 juillet 2012
` ´ ´ ´ 2eme annee ESIP, specialite AGE

Cours d’Automatique
´ ´ ´ Representations d’etat lineaires ` des systemes monovariables

Olivier BACHELIER
Courriel : Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr Tel : 05-49-45-36-79 ; Fax : 05-49-45-40-34

` ´ ´ ´ 2eme annee ESIP, specialite AGE

Cours d’Automatique
´ ´ ´ Representations d’etat lineaires ` des systemes monovariables

OlivierBACHELIER
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18 mars 2008

R´ sum´ e e ´ Ce cours d’Automatique s’inscrit dans le cadre de la deuxi` me ann´ e de « cycle ing enieur » e e ´ de l’Ecole Sup´ rieure d’Ing´ nieurs de Poitiers (ESIP) et s’adresse aux etudiants de la sp´ cialit´ e e ´ e e ´ G´ nie Electrique et Automatique (GEA). Ces derniers ontd´ j` suivi un enseignement relatif a e ea ` l’´ tude des syst` mes lin´ aires mod´ lis´ s par une fonction de transfert (approche fr´ quentielle). e e e e e e Ce cours s’int´ resse aux mˆ mes syst` mes mais propose une etude via un mod` le diff´ rent, appel´ e e e ´ e e e repr´ sentation d’´ tat lin´ aire (approche temporelle). e e e Connaissances pr´ alables souhait´ es : notions de syst` mes lin´aires, equations diff´ rentielles, e e e e ´ e fonction de transfert en p (voire en z), analyse et commande des syst` mes lin´ aires par approche e e fr´ quentielle, quelques bases d’alg` bre lin´ aire. e e e

ii

Table des mati` res e
1 Introduction 1.1 Notion de syst` me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Notion de mod` le . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Grandes lignes du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Rappel sur la fonction de transfert ´ e 2.1 Equations pr´ liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Lin´ arit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . e e 2.1.2 Mod` le entr´ e/sortie : l’´ quation diff´ rentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 2.1.3 Transform´ e de Laplace : de l’´ quation diff´ rentielle a la fonction de transfert e e e ` 2.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Int´ rˆ t de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 3 La repr´ sentation d’´ tat e e 3.1 Principe g´ n´ ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.2 De la non-lin´ arit´ a la lin´ arit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e` e e 3.3 Historique de la repr´ sentation d’´ tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4Comment obtenir un mod` le d’´ tat ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.1 Par le jeu d’´ quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.2 Par l’´ quation diff´ rentielle unique . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.5 De la fonction de transfert a la repr´ sentation d’´ tat . . . . . . . . . . . ` e e 3.5.1 Cas d’une fonction de transfert strictement propre (m < n) . . .3.5.1.1 R´ alisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan . e 3.5.1.2 R´ alisation de forme compagne . . . . . . . . . . . . e 3.5.2 Cas d’une fonction de transfert non strictement propre (m = n) 3.6 De la repr´sentation d’´ tat a la fonction de transfert . . . . . . . . . . . e e ` 3.7 D’une r´ alisation a l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ` 3.7.1 Changement de base . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Obtention d’une forme compagne (horizontale) . . . . . . . . . 3.7.3 Obtention d’une forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3.1 Les valeurs propres λi de A sont distinctes . . . . . . 3.7.3.2 Les valeurs propres λi de A sont multiples . . . . . . 4 R´ ponse d’un mod` le d’´ tat e e e 4.1 Solution du syst` me autonome . . . . . . e 4.1.1...
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