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Mathématiques TERMINALE S Contrôle de leçon : bases de 1ere S sur limites de fonctions
(Calculatrice autorisée) 1) Compréhension et pratique de base : a) f est la fonction
√

Objectif : Déterminer toutes les études de limites envisageables pour cette fonction et trouver les réponses à ces études. Consigne : On ne donnera aucune justification mais on remplira un tableau donnant, d’une part, la condition d’étude choisie et d’autre part la réponse à cette étude (la limite si existence, une croix si non existence, un ? si on ne peut se prononcer) f est définie sur D = [ -3 , 2 [ ∪ ] 2 ; +∞ [ donc on peut étudier sa limite en tout point a de D, en 2 par valeurs supérieures ou inférieures et en +∞ Condition x tend vers Limite de f dans cette condition a ∈D f(a) 2∞ 2+ ∞ +∞ 0

Ces limites se conjecturent en observant la courbe de f, ou en regardant le comportement de f(x) à l’aide du tableur.

Pour s’en convaincre, on peut les démontrer en utilisant les règles déductives : Les limites en 2- et en 2+ se démontrent facilement en utilisant les règles sur les quotients. Ainsi quand x tend vers 2 par valeurs inférieures, la limite de √ 3 4 est √5 4 qui est un réel négatif, 2 tend vers 0 par valeurs inférieures donc son inverse tend vers ∞ d’où la limite. En ∞, nous sommes face à une indétermination que l’on lève en transformant l’écriture de f(x) pour x assez grand.

Si x > 0,

√ . √ sont fausses si x quelconque dans D)
Comme

√

√ .

√ √

√

√

√ √

√

(noter que ces écritures

et

∞

1

∞

√
√

1 1

∞, on en déduit successivement que,

∞√ 1, √ ∞

0,

∞√
√

0

puis, que

∞

√

1, ∞

donc finalement que

0

∞

1

√

√

∞, et

(on peut aussi diviser numérateur et dénominateur par
√

et utiliser que pour

> 0,

².

On obtient vers 1)

²

²

, le numérateur tend vers 0 et le dénominateur

b) On revient à la théorie. Que signifie qu’une fonction f a