Bac Blanc n◦ 2 ( 2005) TS:4heures les exercices peuvent ˆtre trait´s dans n’importe quel ordre . La clart´ e e e et la pr´cision de la r´daction seront prises en compte dans la notation. e e Pour l’exercice 5, choisir celui correspondant ` sa section: tronc a commun ou sp´cialit´ maths e e

Exercice 1 : (restitution organis´e des connaissances) (4 points) e → → le plan complexe est muni d’un rep`re orthonormal direct (O; − , − ) e u v dans cet exercice, on prend comme pr´requis les r´sultats suivants : e e • arg(zz ) = arg(z) + arg(z )[2π], ∀z ∈ C∗ ,∀z ∈ C∗ 1 • arg( ) = − arg(z)[2π], ∀z ∈ C∗ z → → →e • arg(z) = (− ; − )[2π],∀z ∈ C∗ (− ´tant le vecteur d’affixe z) u w w 1)soit M, N et P trois points distincts du plan d’affixes m, n et p . p−m − → −→ − − d´montrer que: arg( e ) = (M N ; M P )[2π] n−m p−m 2) interp´ter g´om´triquement : e e e n−m 3) en d´duire l’´criture complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et e e d’angle de mesure θ (θ ´tant un nombre r´el) e e 4)dans cette question on prend : m = 1 et n = i d´terminer p pour que le triangle M N P soit ´quilat´ral de sens direct e e e exercice 2 : (5 points) pour tout entier n strictement positif, on consid`re la fonction fn d´finie sur e e (ln x)n e ]0; +∞[ par fn (x) = et l’int´grale In = 1 fn (x)dx e x2 1 + ln x 1) on pose F (x) = . Calculer F (x). en d´duire I1 . e x 1 2) en utilisant une int´gration par parties montrer que: In+1 = − +(n+1)In e e 3) en utilisant la question 2) , montrer par r´currence que,pour tout entier e 1 1 1 1 1 n strictement positif, on a: In = 1 − (1 + + + .... + ) n! e 1! 2! n! 4) en utilisant un encadrement de ln x sur [1; e], montrer que,pour tout entier n strictement positif, on a: 0 ≤ In ≤ 1 1 1 1 5) en d´duire : lim 1 + + + .... + e n→+∞ 1! 2! n! 1

exercice 3: (4 points) pour entretenir en bon ´tat de fonctionnement le chauffage, une soci´t´ e ee immobili`re fait contrˆler les chaudi`res de son parc de logements. e o e on sait que 20 % des chaudi`res sont sous garantie e