Bac Blanc Terminale S

3489 mots 14 pages
LYCÉE O DILON R EDON — ANNÉE 2007–2008
ANNEXE DE

L ESPARRE

B ACCALAURÉAT BLANC — SÉRIE S
É PREUVE DE MATHÉMATIQUES

Les élèves faisant spécialité maths traiteront l’exercice 2. Spécialité ; les autres traiteront l’exercice 2. Obligatoire.
« La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. »

Exercice 1. commun à tous les élèves
(5 points)

Partie A – Restitution organisée de connaissances
1. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si, et seulement si : z = −z.
2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si, et seulement si : z = z.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : zz = |z|2 .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O; #» u , #» v . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B et C, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c.

Partie B – Étude d’un cas particulier
On pose a = 3 + i ; b = −1 + 3i ; c = − 5 − i 5.

1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

Partie C – Étude du cas général
ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b et c sont les affixes respectives des points A, B et C.
1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si, et seulement si : aa = bb = cc.
2. On pose w = bc − bc.

a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans la partie A, démontrer que w est imaginaire pur.

b. Vérifier l’égalité (b + c)(b − c) = w , et justifier que : w b +c
=
. b − c |b − c|2
c. En déduire que le nombre complexe

b +c est imaginaire pur. b −c
1

3. Soit H le point d’affixe a + b + c.


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