Baccalauréat S France 15 juin 2007 (correction)

E XERCICE 1


3 points

 1 − 1. (P) a pour équation cartésienne : x + 2y − z + 1 = 0. Un vecteur normal à (P) est : →  2 . n −1   −1 → − (P’) a pour équation cartésienne : −x + y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : n ′  1 . 1 −′ →.→ = (1 × (−1)) + (2 × 1) + (−1 × 1) = −1 + 2 − 1 = 0 donc les vecteurs → et → sont orthogonaux. Les plans (P) et (P’) sont − −′ − Alors : n n n n

perpendiculaires.

2. Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d). Les coordonnées (x ; y ; z) des points de (d) vérifient les deux équations des plans et sont solutions du système formé par ces deux équations x + 2y − z + 1 = 0 x + 2y = z − 1 = 0 −x + y = −z ⇔ ⇔ −x + y + z = 0 −x + y = −z 3y = −1  1  x = − +t    3 1 ⇔ , t ∈ R qui est la représentation paramétrique de (d) donnée dans le texte.  y = −   3  z = t 3. Pour un plan d’équation (P) cartésienne ax + by + cz + d = 0 et un point A(xA ; y A ; zA ), la distance entre A et (P) est : d(A ; (P))= |axA + by A + czA + d| . a2 + b2 + c2 2 2 et d(A ; (P’))= . On en déduit : d(A ; (P))= 6 3 Notons H et H’ les projetés orthogonaux de A sur (P) et sur (P’). Comme les deux plans (P) et (P’) sont orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P’) est cofondu avec le projeté orthogonal de H’ sur (P). Le quadrilatère AHDH’ est donc un rectangle. Soit δ la distance entre A et (d). δ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le théorème de Pythagore : δ2 = 2 2 2 2 2 4 + = + = 2. D’où δ = 2. 3 3 6 3 E XERCICE 2 3 points

1. Restitution organisée de connaissances Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et dont les dérivées sont continues. Alors uv est dérivable et (uv)′ = u ′ v + uv ′ . b b b Par conséquent, u ′ v = (uv)′ −uv ′ et ce sont des fonctions continues d’où a u ′ (x)v(x) dx = a [(uv)′ (x)−u(x)v ′ (x)] dx = a (uv)′ (x) dx− b ′ a u(x)v (x)

2. On pose I =

dx (linéarité de l’intégrale) = [u(x)v(x)]b − a
π