EXERCICE 1 enseignement obligatoire

1. Soit la suite (un) définie par u1 = 1
2 et par la relation de récurrence : un+1 =16un +
1
3
.
a. Soit la suite (vn) définie pour n >1 par vn = un − 2
5 ;montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b. En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un.
2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches. On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite.
On désigne par An l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer », par An l’évènement contraire de An, par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par Rn l’évènement contraire de Rn, par an et rn les probabilités respectives de An et Rn.
a. Déterminer a1.
b. Déterminer r1. Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre.
c. En remarquant que, pour tout n >1, Rn = (Rn ∩Rn)∪
³
Rn ∩Rn
´
,montrer que rn = −1
6 an + 2
3 .
d. Montrer que, pour tout n >1,
An+1 = (An ∩Rn)∪
³
An ∩Rn
´
.
e. En déduire que, pour tout n >1, an+1 = 1
6 an + 1
3 , puis déterminer l’expression de an en fonction de n.
f. En déduire l’expression de rn en fonction de n puis la limite de rn quand n tend vers