Terminale S

Mathématiques

lundi 28 mars 2011

BAC BLANC Mathématiques Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient 7 Le sujet comporte 4 pages Le candidat doit traiter les quatre exercices. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies

EXERCICE 1

5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

(Antilles-Guyanne septembre 2009) u v Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ;  ,   d’unité graphique 1 cm. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions. 1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives z A=− 114 i , z B=− 3 −4 i et z C =54 i . 2. Calculer le module et un argument du quotient Une méthode : z A− z B −114 i −−3−4 i i8 i8 −88 i = = = =i Remarquer: –8 = 8i² 88 i 54 i−−3−4 i zC − z B 88 i π i est le nombre complexe de module 1 et d'argument 2 + 2k ; k  ℤ z A− z B iπ iπ = e 2 , soit, zA – zB = e 2 (zC – zB) zC − z B On a donc: A est l'image de C dans la rotation de centre B et d'angle Le triangle ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. Une autre méthode : 3π zA – zB a pour module 8 √ 2 et pour argument 4 π π zC – zB = 8 + 8 i = 8(1 + i) = 8 √ 2 e i 4 zC – zB a pour module 8 √ 2 et pour argument 4 Le module du quotient est le quotient des modules et un argument du quotient est la différence des arguments. zA – zB = – 8 + 8 i = 8(– 1 + i) = 8  . 2 z A− z B et en déduire la nature du triangle ABC. zC − z B

√ 2 ei 4

3π

z A− z B π 3π î 8√ 2 a pour module = 1 et un argument égal à – 4 = + 2k ; k  ℤ. 4 2 zC − z B 8√ 2 π . 4

3. Soit E l’image du point C par la rotation r de centre B et d’angle Montrer que l’affixe de E vérifie z E =−38  2 – 4 i . zE – zB = e i 4 (zC – zB) zE = (


 2 + i  2 )(5 + 4i – (– 3 – 4i) + (–3 – 4i)
2 2

zE = (

 2 + i  2 )(8 + 8i ) + (–3 – 4i) = 4 √ 2 + 4 √