LOI BINOMIALE

I. Répétition d'expériences identiques et indépendantes

Exemples :

1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre lancer).

2) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne.
On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences sont identiques et indépendantes.

Définition : Plusieurs expériences sont identiques et indépendantes si :
- elles ont les mêmes issues,
- chaque issue possède la même probabilité.

Propriété : On considère une expérience aléatoire à deux issues A et B avec les probabilités P(A) et P(B).
Si on répète l'expérience deux fois de suite de façon identique et indépendante :
- la probabilité d'obtenir l'issue A suivie de l'issue B est égale à P(A) x P(B),
- la probabilité d'obtenir l'issue B suivie de l'issue A est égale à P(B) x P(A),
­- la probabilité d'obtenir deux fois l'issue A est égale à P(A)2,
­- la probabilité d'obtenir deux fois l'issue B est égale à P(B)2.

-Admis-

Méthode : Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes dans un arbre

On considère l'expérience suivante :
Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète l'expérience deux fois de suite.
1) Représenter l'ensemble des issues de ces expériences dans un arbre.
2) Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches.
Déterminer la probabilité que : a) X = 2, b) une boule blanche et une boule rouge, c) X 1.

1) On note A l'issue "On tire une boule blanche" et B l'issue "On tire une boule rouge".
P(A) = = 0,6 et P(B) = = 0,4.
On résume les issues de l'expérience dans un arbre de probabilité :

2) a) Obtenir deux boules blanches correspond à l'issue (A ; A) : P1 = 0,36 (d'après