Le modèle de Black–Scholes
Philippe Briand, Mars 2003

1. Présentation du modèle
Les mathématiciens ont depuis longtemps essayé de résoudre les questions soulevées par le monde de la finance. Une des caractéristiques de ces questions – il suffit de penser à la bourse pour s’en convaincre – est qu’elles font apparaître des dynamiques d’apparence désordonnées et c’est pourquoi les modèles probabilistes semblent relativement bien adaptés à cette situation. En 1901, la thèse de Louis Bachelier, Théorie de la spéculation, portait déjà sur ce thème. Depuis de nombreux probabilistes se sont penchés sur ces questions rafinant sans cesse les modèles utilisés. Je vous renvoie par exemple à [DJP98, LL97, Kar97, KS98, MR97]. Mais c’est sans nul doute grace aux travaux de Black, Merton et Scholes que ces questions sont devenues si populaires en partie à cause de la simplicité des réponses qu’ils ont apportées. En 1973, Black et Scholes ont proposé une formule, qui porte aujourd’hui leurs noms, pour le prix d’une option européenne d’achat. Cette formule est très utilisée en pratique à tel point que la volatilité implicite qu’elle définit est devenue une véritable unité de mesure. Le modèle mathématique qui décrit le marché financier est à la fois simple et efficace. Finissons cette courte introduction en mentionnant que Merton et Scholes (Black était décédé) ont obtenu le prix Nobel d’économie pour leurs travaux en finance. De quoi s’agit-il ? Le modèle de Black–Scholes est, à l’origine, un modèle à deux actifs : l’un risqué, l’autre pas. Typiquement, l’actif risqué est une action (l’action sous-jacente à l’option) tandis que l’actif non risqué s’apparente à une obligation. À l’instant t, le prix de l’obligation est Rt et le prix de l’action est St . L’évolution de l’obligation est relativement simple puisque l’on suppose que dRt = rt Rt dt, soit Rt = R0 e
Rt
0

rs ds

,

où rt ≥ 0 représente le taux d’intérêt instantanné. Nous supposerons toujours que R0 = 1. Le prix de