BTS Informatique de gestion 1re année

Mathématiques
Devoir 1
Exercice 1
(6 points) 1. Représentation à l’aide d’un diagramme de Venn

2. J ∪ S ∪ C est l’ensemble des habitants ayant au moins une activité et (J ∪ C) les habitants adhérents au club de scrabble ou aux chorales.

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3. a) Par hypothèse 2920 habitants n’ont aucune activité c'est-à-dire Card ( J ∪ S ∪C ) = 2920. Card (J ∪ S ∪ C) = Card Ω - Card ( J ∪ S ∪C) = 3200 – 2920 = 280 ; et Card (J ∪ C) = Card (J ∪ S ∪ C) – 100 = 280 – 100 = 180. b) card J = x + 25 + 10 + 20 ; card C = y + 30 + 10 + 20 4. D’une part, Card (J ∪ C) = 180, donc : x + 25 +10 +20 + y + 30 = 180 D’autre part, le club de scrabble possède autant de membres que les chorales, donc : x + 25 +10 +20 = y + 30 + 10 + 20 ⎧ x + y = 95 On a donc le système ⎨ qui admet pour solutions x = 50 et y = 45. ⎩x − y = 5 Donc : x = 50 habitants ne font partie que du club de scrabble. y + 30 + 10 + 20 = 105 habitants font partie des chorales.

Exercice 2
(4 points)
Soit f la fonction de quatre variables booléennes a, b, c, d définie par : f(a, b, c, d) = abcd + ac d + abcd + bc + abcd + abd + abc 1. On suppose que d = 1. f(a, b, c, 1) = abc0 + ac 1 + a bc1 + bc + ab c0 + a b0 + abc donc g(a, b, c) = f(a, b, c, 1) = ac + abc + bc + abc . 2. Simplification de la fonction g a) Méthode algébrique. g(a, b, c) = ac + abc + bc + abc = ac (1 + b) + bc(1 + a) g(a, b, c) = ac + bc b) Tableau de Karnaugh : g(a, b, c) = ac + abc + bc + abc .

bc a
0 1

00

01

11

10 1 (1)

1 (3)

1 (2)

On a donc g(a, b, c) = ac + bc Le regroupement des cases (1) et (2) peut être remplacé par bc Le regroupement des cases (3) et (2) peut être remplacé par ac

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Exercice 3
(10 points)

Partie A Soit la fonction numérique g de la variable réelle x définie sur R par g(x) = ex + x + 1 1. a) lim g = lim (e x + x + 1) = -∞ car lim e x = 0 et lim (x + 1 ) = −∞
−∞
x → −∞

x → −∞

x → −∞

lim g = - ∞
−∞

et