BTS Industriels – Groupement C – Mai 2008

Exercice 1 (9 points)

Partie A

L’étude d’un mouvement a montré que la vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable y de la variable réelle positive t vérifiant l’équation différentielle :

(E) : y′+2y=50

1. Résoudre sur l’intervalle l’équation différentielle y′+2y=0.
2. Déterminer une fonction constante solution de l’équation (E) sur l’intervalle .
3. En déduire la solution générale de (E) sur l’intervalle .
4. Sachant que la vitesse initiale à l’instant t=0 est nulle, déterminer la vitesse y en fonction de t.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle par : f(t)=25.
On donne sur la feuille annexe, à remettre avec la copie, la représentation graphique Γ de la fonction f dans un repère orthogonal.
La fonction f représente la fonction vitesse déterminée dans la partie A.

Le but de l’exercice est de justifier et de compléter la représentation graphique de la fonction f donnée en annexe.

1. a) Par lecture graphique, déterminer une valeur arrondie au dixième de l’instant où la vitesse dépasse 20 .
b) Résoudre l’inéquation f(t)>20. En déduire la valeur exacte de .
2. Déterminer la limite de f en +õ et en donner une interprétation graphique.
3. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle .
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point O, origine du repère.
Construire cette droite sur l’annexe à remettre avec la copie.
5. En utilisant le graphique donné en annexe, estimer l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre la courbe Γ, l’axe des abscisses et les droites d’équation t=1 et t=2.
6. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle .
b) Calculer l’intégrale. En donner une interprétation graphique.

Exercice 2 (11 points)

Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Dans une usine U, une machine produit des barres de métal.
Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres.
On