Levitation de petits objets

19 mai 1998

Partie I Levitation electrique

Uc
10 U

A Etude de la resonance
1. La loi des mailles peut s'ecrire u(t) = L di dt + Ri + uc

Regime force : amplitude

5

avec i = C du dt soit

p

1

c + u = U 2 cos !t:
LC d u2c + RC du c dt dt 2

Regime force : dephasage

En introduisant la pulsation propre !0 et le facteur de qualite
Q, on obtient :

0

;4

1 d2uc + 1 duc + u = U p2 cos !t: c !02 dt2 Q!0 dt

;2

p

2. Posons uc = Uc 2ej (!t+ l'equation di erentielle impose Uc ej

; 34
;

2
! =U
1 ; !2 + j Q!
!0
0

2

2

2

2
0

0

2

2
0

2

2
0

2

2

1

!
!0

3. a) Les valeurs numeriques conduisent a Q = 10 1, ce qui est incompatible avec Q = 7 0 5.
Le generateur BF n'est pas une source ideale de tension si on prend en compte la resistance interne (typiquement 50 ), on obtient Q = 6 7 1, ce qui est compatible avec l'autre mesure. b) Si l'evolution de est conforme aux calculs precedents, on observe

ce qui determine

8
U
Uc = s
>
>
! + !
>
1
;
>
>
Q!
0!
<
BB
1; !
>
>
!
s
>
= ;Arccos B
B
>
@ 1; ! + !
>
:
Q!
!

!
!0

1
CC
CC
A

pour !
( ' 0)

0

!0 un segment de droite de pente positive

pour ! ' !0 une ellipse d'axes paralleles aux bords d'ecran La courbe representant l'amplitude du regime force pour
Q = 10 montre que le facteur de qualite represente la valeur maximale du rapport UUc c'est pour cela qu'on l'appelle egalement facteur de surtension. Q represente egalement la nesse de la courbe de resonance !!0 et, energetiquement, energie stockee .
2 energie dissipee pour ! !0 un segment de droite de pente negative
( '; )
4. a) Representations graphiques
1

La force electrostatique s'ecrit alors
2
;!
F 1!2 = ; 0 SU2 c ; u!: 2e z
3. a) La longueur d'onde est superieure au kilometre, donc tres grande devant les dimensions du condensateur, ce qui justi e l'ARQS.
b) La force electrostatique devient

;!
F

1

Su (t)2

0 c u!z :
!2 = ; 2e2(t) ;

L'equation di erentielle du mouvement devient
2
2
0 Suc (t) m d e(t)
=
mg
;
: dt2 2e2 (t)
c) On